【332988】4.1认识三角形

4.1认识三角形

一、单选题

1.下列说法正确的是（   ）

A. 在一个三角形中至少有一个直角                         B. 三角形的中线是射线
C. 三角形的高是线段                                              D. 一个三角形的三条高的交点一定在三角形的外部

2.如果CD平分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（　　）

A. 110°                                     B. 105°                                     C. 100°                                     D. 95°

3.下列长度的各组线段为边能组成一个三角形的是（   ）

A. 9，9，1                            B. 4，5，1                            C. 4，10，6                            D. 2，3，6

4.一个三角形的内角中，至少有（      ）

A. 一个钝角                            B. 一个直角                            C. 一个锐角                            D. 两个锐角

5.如图，△ABC中BC边上的高为（     ）

A. AE                                         B. BF                                         C. AD                                         D. CF

6.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（   ）

A. ∠B+∠A=∠C                                                        B. ∠A：∠B：∠C=2：3：5
C. ∠A=2∠B=3∠C                                                   D. 一个外角等于和它相邻的一个内角

7.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为 平方厘米，则此方格纸的面积为（　　）
 

A. 11平方厘米                       B. 12平方厘米                       C. 13平方厘米                       D. 14平方厘米

8.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（   ）

A. ∠A＋∠B=∠C            B. ∠A－∠B=∠C            C. ∠A︰∠B︰∠C =1︰2︰3            D. ∠A=2∠B=3∠C

9.以长为8cm、6cm、10cm、4cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（   ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

10.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC是（    ）

A. 直角三角形                  B. 锐角三角形                  C. 钝角三角形                  D. 不能确定三角形的形状

11.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则这个三角形的第三边的长可能是(       )

A. 4cm                                     B. 5cm                                     C. 6cm                                     D. 13cm

12.三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（   ）

A. 角平分线                                   B. 中位线                                   C. 高                                   D. 中线

二、填空题

13.如图，在△ABC中，∠ACB=58°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=________．

14.画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的________．

15.如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S_△ABC=8cm² ， 则图中阴影部分△CEF的面积是________cm² ．

16.已知三角形两边长分别为3cm，5cm，设第三边为xcm，则x的取值范围是________．

17.如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么阴影部分的面积是________．

18.各边长度都是整数.最大边长为8的三角形共有________个．

三、解答题

19.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数。

20.已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．

21.如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点E，∠C=70º，∠BED=64º，求∠BAC的度数．

四、综合题

22.     综合题

（1）如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是________，△EBD的面积是________．

（2）如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少？

23.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．

（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=________°；

（2）求证：∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）；

（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、一个三角形的三个内角中最多有一个直角，错误； B、三角形的中线是线段，错误；
C、三角形的高是线段，正确；
D、锐角三角形的高总在三角形的内部，而直角三角形和钝角三角形则不一定，错误；
故选C
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念进行判断即可．

2.【答案】B

【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ×90°=45°，
在△ACD中，∵∠1+∠A+∠ACD=180°，
∴∠1=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选B．
【分析】先根据角平分线定义得到∠ACD=45°，然后在△ACD中根据三角形内角和求∠1的度数．

3.【答案】A

【解析】【解答】解：A、9+1＞9，能够组成三角形；
B、1+4=5，不能组成三角形；
C、4+6=10，不能组成三角形；
D、2+3＜6，不能组成三角形．故选A．
【分析】解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

4.【答案】D

【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，而直角与钝角都不小于90°，所以最多只能有一个，所以至少有两个锐角．

【解答】∵三角形的内角和等于180°，
∴直角或钝角至多有一个，
∴锐角至少有两个．
故选D．

【点评】本题主要利用三角形的内角和定理求解，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．

5.【答案】A

【解析】【分析】根据三角形的高线的定义解答．

【解答】根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．
故答案为：A．

【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．

6.【答案】C

【解析】【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行分析即可．

【解答】A、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C= ×180°=90°，是直角三角形；
C、∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠A≠90°，∴△ABC不是直角三角形；
D、一个外角等于和它相邻的一个内角，故这个角为90°，故事直角三角形；
故选：C．

【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理．

7.【答案】B

【解析】【解答】解：方格纸的边长是x，
x²﹣ •x• x﹣ • x• x﹣ •x• x= x²=12平方厘米．
所以方格纸的面积是12平方厘米，
故选B
【分析】可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．

8.【答案】D

【解析】【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．

【解答】A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，
故选：D．

【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．

9.【答案】C

【解析】【解答】解：分成四种情况：①4cm，6cm，8cm；②4cm，6cm，10cm；③4cm，8cm，10cm；④6cm，8cm，10cm， ∵4+6=10，
∴②不能够成三角形，
故可以画出三角形的个数为3个．
故选：C．
【分析】此题分成四种情况，再利用三角形的三边关系讨论即可．

10.【答案】A

【解析】【分析】由∠A：∠B：∠C=2：3：5，可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，根据三角形的内角和为180°即可得到关于x的方程，解出即可判断形状。
【解答】设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，由题意得
2X+3X+5X=180，解得X=18，∠C=5x=90°，
则△ABC是直角三角形，
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握任意三角形的内角和均为180°.

11.【答案】C

【解析】【分析】已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．

【解答】设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜11，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，13都不符合不等式5＜x＜11，只有6符合不等式，故答案为6cm．故选C．

【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

12.【答案】D

【解析】【解答】解：（ 1 ） 三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（ 2 ）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（ 3 ）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（ 4 ）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE；因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，所以△ABD的面积等于△ACD的面积。
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。
故答案为：D。
【分析】由面积的计算公式为底乘以高的一半可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。

二、填空题

13.【答案】122°

【解析】【解答】解：∵∠1+∠PCB=∠ACB=58°， 又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=58°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°﹣58°=122°．
故答案为122°．
【分析】由于∠1+∠PCB=68°，则∠2+∠PCB=68°，再根据三角形内角和定理得∠BPC+∠2+∠PCB=180°，所以∠BPC=180°﹣68°=112°．

14.【答案】角平分线

【解析】【解答】解：画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 角平分线．
故答案是：角平分线．【分析】三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

15.【答案】2

【解析】【解答】解：如图，
∵E为AD的中点，
∴S_△ABC：S_△BCE=2：1，
同理可得，S_△BCE：S_△EFC=2：1，
∵S_△ABC=8cm² ，
∴S_△EFC= S_△ABC= 8=2cm²；
故答案为：2．
【分析】由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得，△BCE和△EFC的面积之比，即可解答出.

16.【答案】2cm＜x＜8cm

【解析】【解答】3＋5＝8，5－3＝2，
∴x的取值范围为：2cm＜x＜8cm．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．

17.【答案】

【解析】【解答】解：连接CF， ∵BD=2DC，AE=EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为y，
∵△BEC的面积= S_△ABC=9，
∴3x+y=9 ①，
∵△ADC的面积= S_△ABC=6，
∴x+2y=6 ②
①+2×②，可得x+y= ．
故答案为： ．

【分析】根据BD=2DC，AE=EC可设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为y，再列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可．

18.【答案】20

【解析】【解答】∵各边长度都是整数.最大边长为8，
∴三边长可以为：
1，8，8；
2，7，8；2，8，8；
3，6，8；3，7，8；3，8，8；
4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；
5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；
6，6，8；6，7，8；6，8，8；
7，7，8；7，8，8；
8，8，8；
故各边长度都是整数.最大边长为8的三角形共有20个．
故答案为：20．
【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．

三、解答题

19.【答案】解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°-50°-60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°
故∠DAE=5°，∠BOA=120°

【解析】【分析】利用三角形的内角和定理和平分线定义，可转化∠DAE=∠DAC-∠EAF，∠BOA=∠EAF+∠AFB.

20.【答案】解：如图所示，
过A，B分别作y轴，x轴的垂线，垂足为C，E，两线交于点D，
则C（0，3），D（3，3），E（3，0）．
又因为O（0，0），A（1，3），B（3，1），
所以OC=3，AC=1，OE=3，BE=1，
AD=DC﹣AC=3﹣1=2，
BD=DE﹣BE=3﹣1=2，
则四边形OCDE的面积为3×3=9，
△ACO和△BEO的面积都为 ×3×1= ，
△ABD的面积为 ×2×2=2，
所以△ABO的面积为9﹣2× ﹣2=4．

【解析】【分析】过A，B分别作y轴，x轴的垂线，则三角形ABC的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．

21.【答案】解：∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵∠DBE+∠BED+∠ADB=180°
∴∠DBE+∠BED=90°
∵∠BED=64°
∴∠DBE=26°
∵AD⊥BC，∠C=70°
∴∠DAC=20°，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠DBE=26°
∴∠ABD=52°
又∵AD⊥BC
∴∠BAD=38°
∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=38°+20°=58°

【解析】【分析】考查三角形内角和定理．直接利用三角形内角和为180°，求出∠DBE的度数，由平分得∠ABE=∠DBE，从而再求∠BAD和∠CAD的度数，相加得∠BAC=∠DAC+∠BAD=38°+20°=58°．

四、综合题

22.【答案】（1）8；4
（2）解：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴S_△ABD= S_△ABC=8，
∵E是AD的中点，
∴S_△BED= S_△ABD=4，
同理得，S_△CDE=4；
∴S_△BCE=8，
∵F是CE的中点，
∴S_△BEF= S_△BCE=4．

【解析】【解答】解：（1）∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，
∴S_△ABD= S_△ABC= =8，
S_△EBD= S_△ABD= =4，
故答案为：8，4；
【分析】（1）点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，得到S_△ABD= S_△ABC= × 16 =8，S_△EBD= S_△ABD= × 8 =4；（2）在△ABC中，D是BC边的中点，得到S_△ABD= S_△ABC=8，由E是AD的中点，得到S_△BED= S_△ABD=4，同理得，S_△CDE=4，得到S_△BCE=8，由F是CE的中点，得到S_△BEF= S_△BCE=4．

23.【答案】（1）120
（2）解：证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（ ∠ABC+ ∠ACB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
（3）解：解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵由（2）可知：∠BPC=180°﹣ ∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC=180°﹣ （180°﹣∠A），
∵∠A=α，
∴∠BPC=180°= （180°﹣α）=90°+

【解析】【分析】
①根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠BPC+∠PCB,然后利用三角形的内角和等于180°列出计算.
②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得出结论.
③根据三角形的内角和和角平分线的定义即可.