【333045】4.4 用尺规作三角形2

北师大版数学七年级下册第四章4.3尺规作图课后练习

一、选择题（共15题）

1.已知△ABC内部有一点P，且点P到边AB、AC、BC的距离都相等，则这个点是（ ）。

A．三条角平分线的交点 B．三边高线的交点 C．三边中线的交点 D．三边中垂线的交点

答案： D

解析：解答：本作图属于作图中的基本作图，作一条已知线段的垂直平分线，故选D．

故选：D ．

分析：本题主要考查了作图—基本作图，而且是三条线段的垂直平分线的交点，在三角形中，经常最到这个问题，简单易答．

2.已知：线段AB

作法：（1）分别以点A和B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

（2）作直线CD．

直线CD就是线段AB的（ ）．

A．中线 B．高线 C．中垂线 D．不确定

答案： C

解析：解答：本作图属于作图中的基本作图，作一条已知线段的垂直平分线，故选C．

故选：C ．

分析：本题主要考查了作图—基本作图，简单易答，分析此问题的关键考虑到同样长的半径．

3.数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画( )个．

A．1 B． 2 C．3 D．4

答案： C

解析：解答：作图有以下几种情况：

故选：C ．

分析：本题主要考查了作图—基本作图，且考察了对等腰直角三角形的理解，问题中容易忽视的是射线AN，而不是直线AN．

4.已知：∠AOB

作法：（1）作射线O'A'.

（2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．

（3）以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O’A'于C'．

（4）以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．

（5）经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．

这个作图是（ ）

A.平分已知角 B.作一个角等于已知角 C.作一个三角形等于已知三角形 D.作一个角的平分线

答案：B

解析：解答：这个作图题属于基本作图中的作一个角等于已知角．

故选：B ．

分析：本题主要考查了作图—基本作图中的作一个角等于已知角，问题简单易解．

5.已知：∠AOB（图3-43）．

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

(2)分别以D、E为圆心，大于 的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

(3)作射线OC．

OC就是所求的射线．

这个作图是（ ）

A.平分已知角 B.作一个角等于已知角 C.作一个三角形等于已知三角形 D.作一个角的平分线

答案：A

解析：解答：这个作图题属于基本作图中的平分已知角．

故选：A．

分析：本题主要考查了作图—基本作图中的平分已知角，问题简单易解．

6.已知：直线AB和AB上一点C（图3－44）．

作法：作平角ACB的平分线CF．

CF就是所求的垂线．

     

这个作图是（ ）

A.平分已知角 B.作一个角等于已知角

C.过直线上一点作此直线的垂线 D. 过直线外一点作此直线的垂线

答案：C

解析：解答：这个作图题属于基本作图中的过直线上一点作此直线的垂线．

故选：C．

分析：本题主要考查了作图—基本作图中的过直线上一点作此直线的垂线，问题简单易解．

7.已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：

(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；

(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．

由⑴、⑵可得：线段EF与线段BD的关系为( )

A.相等 B.垂直 C.垂直且相等 D. 互相垂直平分

答案：D

解析：解答： ∵E F是BD的垂直平分线

∴EB=ED，FB=FD

易证BE=BF

∴EB=ED=FB=FD

∴四边形EBFD是菱形

∴EF与BD互相垂直平分

故选：D．

分析：本题主要考查了作图知识，而且考察了菱形的判定和性质，是一道立意较好的作图综合性题目

8.如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，符合要求的作图是（　　）

答案：D

解析：解答： D选项中作的是AB的中垂线，

∴PA=PB，

∵PB+PC=BC，

∴PA+PC=BC

故选：D．

分析：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据作图得出PA=PB．要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确．

9. 已知点A(4,2)，B(-2,2),则直线AB ( )

A.平行于x轴 B.平行于y轴 C.经过原点 D.以上都有可能

答案：A

解析：解答： A(4,2)，B(-2,2)

∴点A到x轴的距离为2，点B到x轴的距离为2

且A、B都在x轴上方

∴AB平行于x轴

分析：此题是研究平面直角坐标系中，两个点所连线段与坐标轴的位置关系，需要对点到直线的距离有着明确地理解，而且此题属于较简单的判断线与坐标轴位置关系的一类问题。

10．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

　 A．（SAS） B． （SSS） C．（ASA） D．（AAS）

答案：B

解析：解答：作图的步骤：

（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

（2）任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

（3）以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；

（4）过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；

作图完毕．

在△OCD与△O′C′D′，

O′C′=OC

O′D′=OD

C′D′=CD，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），

∴∠A′O′B′=∠AOB，

显然运用的判定方法是SSS．

分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．

11.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下： (甲) 作ACP、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求. (乙) 作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求.则

A. 两人都正确 B.两人都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确。

答案： D

解析：解答：此题符合要求的作图完毕后，图形大体上是这样的：

故应该是作AC、BC的垂直平分线

∴选D

分析：此题考察了尺规作图的中的基本作图，并且考察根据题意选择合适的作图方法．

12.如图,已知△ABC，别以A、C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD，CD，则有( )

A.∠ADC与∠BAD相等 B.∠ADC与∠BAD互补

C.∠ADC与∠ABC互补 D.∠ADC与∠ABC互余

答案：B

解析：解答：此题作图完毕后，图形大体上是这样的：

可以很清楚地得到，四边形ABCD是一个平行四边形

∴AB∥DC

∴∠ADC+∠BAD＝180°

∴选B

分析：此题考察了尺规作图的中的基本作图，并且考察了平行四边形的判定及性质的应用．

13.尺规作图是指

A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和尺规作图

C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具

答案：C

解析：解答：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．

分析：此题考察了尺规作图的定义，内容单一容易．

14.如图，已知△ABC，C＝90°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）：

①作B的平分线，与AC相交于点D；

②在AB边上取一点E，使BE＝BC；

③连结ED.

根据所作图形，可以得到：

A． AD=BD B．A=CBD C． D．AD=BC

答案：C

解析：解答：本题作完之后的图形为：

根据作图，有EBD=CBD，BC=BE，又BD=BD

∴△EBD≌△CBD

∴选C

分析：此题不但考察了学生的作图能力，而且同时考察了全等三角形的判定与性质的应用，是一道综合性较强的题目．

15. 已知：直线AB和AB外一点C（图3-45）．

作法：(1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

(2)以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

(3)分别以D和E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点F．

(4)作直线CF．

直线CF就是所求的垂线．

这个作图是（ ）

A.平分已知角 B.作一个角等于已知角

C.过直线上一点作此直线的垂线 D. 过直线外一点作此直线的垂线

答案：D

解析：解答：这是一道作图题中的基本作图，过直线外一点作已知直线的垂线

分析：此题属于基本作图，步骤简单易懂

二、填空题（共5题）

16.垂直于一条线段并且平分这条线段的 ，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．

答案：．直线

解析：解答：垂直于一条线段并且平分这条线段的 ，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线

分析：此题线段的垂直平分线的定义。

17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．

答案：．

解析：解答：由折叠得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°

∵∠C=90°，AC=8，BC=6

∴AB=10

∴AC′=AB－BC′=10－6=4

设DC=x

则DC′=DC=x

AD=AC－DC=8－x

在Rt△A C′D中，（C′D）²＋（AC′）²= （AD）²

∴x ²＋4²= （8－x）²

∴x=3

∴DC=3

∴BD= = = = =

分析：此题既考察了折叠前后图形的性质，又考察了勾股定理的应用综合性比较强．

18.已知： ，求作 的平分线；根据第16题图所示，填写作法：

2. .

② .

③ .

答案：（1）以O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；

（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；

（3）作射线OC．

则射线OC即为所求．

解析：解答：（1）以O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；

（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；

（3）作射线OC．

则射线OC即为所求．

分析：角平分线这一基本作图，是利用了三角形全等的SSS判定方法进行作图的．

19．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　）

答案：菱形

解析：解答：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，

∴AC=AD=BD=BC，

∴四边形ADBC一定是菱形，

故选：B．

分析：根据垂直平分线的作法得出四边形ADBC四边的关系,进而得出四边形一定是菱形．此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．

20．如图，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整。

作法：（1）连结BC

（2）分别以A、C为圆心，( )为半径画弧在AC的另一侧交于点D．

（3）连结AD、CD、BC

则四边形ABCD即为所求作的菱形

答案：AB的长

解析：解答：分别以A、C为圆心，AB的长为半径作弧在AC的另一侧交于点D．

分析：此题主要考查了复杂作图，以给出的线段AB的长为半径作弧是解题关键．

三、解答题（共5题）

21．已知：线段A，∠α．

求作：△ABC，使AB=AC=A，∠B=∠α．

答案：如图所示：△ABC即为所求．

解析：解答：(1) 首先作∠ABC=α；

(2)以点B为圆心A的长为半径画弧，再以点A为圆心A的长为半径画弧，交点为C．

分析：此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．

22．如图， 在平面直角坐标系xOy中， 点 (0，8)， 点 (6 ， 8 ).

(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规， 求作一个点 ，使点 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹， 不必写出作法)：

①点P到 ， 两点的距离相等；

②点P到∠xOy的两边的距离相等．

(2) 在(1)作出点 后， 写出点 的坐标.

答案： ① 作图如下， 点 即为所求作的点：

② 设AB的中垂线交AB于E，交X轴于F，

由作图可得，， 轴， 且OF =3，

∵OP是坐标轴的角平分线

∴ (3，3)．

解析：解答：(1) 作图如下， 点 即为所求作的点：

(2) 设AB的中垂线交AB于E，交X轴于F，

由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴， 且OF =3，

∵OP是坐标轴的角平分线，

∴ (3，3)

分析：∵点P满足到A、B两点的距离相等

∴点P在线段AB的中垂线上，需要作线段AB的中垂线

∵点P到 的两边的距离相等

∴点P在 的角平分线上，故需要作 的角平分线

∴取两条线的公共点即可

23．尺规作图：如图，已知△ABC．

求作△A₁B₁C₁，使A₁B₁＝AB，∠B₁＝∠B，B₁C₁＝BC．

（作图要求：不写作法，不证明，保留作图痕迹）

答案：

解析：解答：作法：（1）作∠B₁＝∠B

（2）在∠B₁的两条边上分别截取B₁ A₁＝BA ，B₁C₁＝BC

（3）连结A₁ C₁

∴△△A₁B₁C₁为所求

分析：∵A₁B₁＝AB，∠B₁＝∠B，B₁C₁＝BC

∴根据三角形全等的判定方法SAS来进行作图

24．求作等腰三角形，使它的底边和底边上的高等于同一条已知线段。

答案：

已知：线段A

求作：△ABC，使AB=AC，BC=A，BC上的高AD=A

分析： 在等腰三角形中，底边上的高也是底边上的中线。

作法：（1）作线段BC=A

（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于D

（3）在MN上截取DA=A

（4）连结AB、AC

∴△ABC为所求

解析：解答：作法：（1）作线段BC=A

（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于D

（3）在MN上截取DA=A

（4）连结AB、AC

∴△ABC为所求

分析：∵底边和底边上的高等于同一条已知线段

∴先作底边，再作高；

∵求作的是一个等腰三角形

∴底边上的高在这条底的中垂线上

∴需要作底边的中垂线

25．如图，有分别过A、B两个加油站的公路 、 相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路 、 的距离也相等。请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．

答案：

解析：解答：（1）连结AB，作线段AB的中垂线；

（2）作∠AOB的角平分线，交线段AB的中垂线于点P；

则点P就是所求作的点。

分析：∵点P满足到A、B两个加油站的距离相等

∴点P在线段AB的中垂线上，需要作线段AB的中垂线

∵点P到两条公路的距离相等

∴点P在∠AOB的角平分线上，故需要作∠AOB的角平分线

∴取两条线的公共点即可