【332198】【推荐】28.1 锐角三角函数（第1、2课时）-同步练习（2）B

28.1 锐角三角函数——正弦、余弦、正切

一、基础·巩固达标

1.在Rt△ABC中，如果 各边长 度都扩大2倍，则锐角A的正弦 值和余弦值( )

A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定

2.已知α是锐角，且cosα= ，则sinα=( )

A. B. C. D.

3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶ ，则cosA=_______，tanA=_________.

4.设α、β为锐角，若 sinα= ，则α=________；若tanβ= ，则β=_________.

5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.

6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB= ，求AD、AC、BC.

二、综合• 应用达标

7.已知α是锐角，且sinα= ，则cos(90°－α)=( )

A. B. C. D.

8.若α为锐角，tana=3，求 的值.

9.已知方程x²－5x·sinα+1=0的一个根为 ，且α为锐角，求tanα.

10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14

三、回顾•展望达标

11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )

A. B. C. D.

图28.1－15 图28.1－17 图28.1 －16

12.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径 ，AC=2，则cosB的值是( )

A. B. C. D.

13.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC=( )

A.45 B.5 C. D.

14.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

A. B. C. D.

15.课本中 ，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P₁，分别过点P和P₁做始边OA的垂线PM和P₁M₁，M和M₁为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18 图28.1－19

16.计算：2^－1－tan60°+( －1)⁰+ ；

17.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB = ，∠CAD=30°.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若OD⊥AB ， BC=5，求AD的长.

[来源:Z#xx#k.Com]

参考答案

一、基础·巩固达标

1.在Rt△ABC中，如果 各边长 度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )

A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定

思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.

答案：A

2.已知α是锐角，且cosα= ，则sinα=( )

A. B. C. D.

思路解析：由cosα= ，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα= .

答案：C

3.Rt△ABC 中，∠C=90°，AC∶BC=1∶ ，则cosA=_______，tanA=_________.

思路解析：画出图形，设AC=x，则BC= ，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.

答案： ，

4.设α、β为锐角，若sinα= ，则α=________；若tanβ= ，则β=_________.

思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.

答案：60°,30°

5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.

思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.

答案：0.386 0

6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB= ，求AD、AC、BC.

思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB= ，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.

解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.

在Rt△ABC中，∵tanB= ，∴AC= AB= k.∵BD=9,∴k=3.

所以AD=4×3=12，AC= ×3=20.

根据勾股定理 .

二、综合•应用达标

7.已知α是锐角，且sinα= ，则cos(90°－α)=( )

A. B. C. D.

思路解析：方法1.运用三角 函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)= .

方法2.利用三角函数中互余角关系“ sinα=cos(90°－α)”.

答案：A

8.若α为锐角，tana=3，求 的值.

思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶ ，sinα= ，cosα= ，分别代入所求式子中.

方法2.利用tanα= 计算，因为cos α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.

答案：原式= .[来源:学*科*网Z*X*X*K]

9.已知方程x²－5x·sinα+1 =0的一个根为 ，且α为锐角，求tanα.

思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是 ，进而可求出sinα= ，然后利用前面介绍过的方法求tanα.

解：设方程的另一个根为x₂，则( )x₂=1

∴x₂=

∴5sinα=( )+( )，解得sinα= .

设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，

∴tanα= .

10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14

思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h= ，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.

解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，

由题意得， 平行四边形的面积S= ab.

又因为S=ah=a(bsinα)，所以 ab=absinα，即sinα= . 所以α=30°.

三、回顾•展望达标

11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )[来源:学科网ZXXK]

图28.1－15

A. B. C. D.

思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.

答案：C

12.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径 ，AC=2，则cosB的值是( )

图28.1－17

A. B. C. D.

思路解析：利用∠BCD=∠A计算.

答案：D

13.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC=( )

A.45 B.5 C. D.

思路解析：根据定义sinA= ，BC=AB·sinA.

答案：B

14.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

图28.1 －16

A. B. C. D.

思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.

答案：B[来源:Z,xx,k.Com]

15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P₁，分别过点P和P₁做始边OA的垂线PM和P₁M₁，M和M₁为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18

思路解析：正弦、余弦函数的定义.

答案： ，锐角α

16.计算：2^－1－tan60°+( －1)⁰+ ；

思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.

解：2^－1－tan60°+( －1)⁰+| |= － +1+ = .

17.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠CAD=30°.

图28.1－19

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若OD⊥AB ，BC=5，求AD的长.

思路解析：圆的切线问 题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.

由sinB= 可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.

AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.

(1)证明：如图，连接OA.

∵sinB= ，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.

∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.[来源:学科网ZXXK]

∴∠OAD=60°.

∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.

(2)解：∵OD⊥AB ∴ OC垂直平分AB.

∴ AC=BC=5.∴OA=5.

在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD= .

∴ AD= .