【323290】2023八年级数学上册 第2章 三角形知识点总结和常考题型练习题（新版）湘教版

三角形知识点

一、三角形及其有关概念

1、三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：

三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：

（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：

(1)三角形按边分类：

不等边三角形

三 角形 底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

(2)三角形按角分类：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三 角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：

（1）三角形的角平分线：

定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：

定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；

8、三角形的面积：

三角形的面积= ×底×高

二、全等图形：

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

性质：全等图形的形状和大小都相同。

三、全等三角形

1、全等三角形及有关概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的表示：

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4、三角形全等的判定：

（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

三角形练习

1. 选择题

1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )

A. 3cm, 4cm, 8cm B. 8cm, 7cm, 15cm

C.2a,3a,5a(a＞0) D. 、 , （m≠0）

2、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么由a，b，c为边组成的三角形共有（ ）

A. 1个 B. 3个 C. 无数多个 D. 无法确定

3、一个多边形除去一个内角外，其余内角的和是2010⁰，则这个多边形的边数为（ ）

A、13 B、14 C、15 D、16

4、已知△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的平分线的夹角是（ ）

A. 130° B. 60° C. 130°或50° D. 60°或120°

5 、如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2 等于（ ）

A、90° B、135° C、270° D、315°

第5题图

6、如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于，点P，若∠A=50⁰ ，则 ∠BPC等于（ ）

A、90° B、130° C、270° D、315°

7、在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（ ）

A.4对 B.5对 C.6对 D.7对

8、下列说法正确的是（ ）

A. △ABC中，∠A＝2∠B＝4∠C，则△ABC为直角三角形

B. 锐角三角形中任意两个角之和小于90°

C. 三角形中至少有两个角是锐角

D. 两个三角形中有一个角相等，则另外两个角相等

9、如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则

A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上

C.点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上

10、用随便两个全等的直角三角形，拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是

A. ①②③ B. ②③ C. ③④⑤ D. ③④⑥

11、如图,平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,过点O作直线分别交于AD、BC于点E、F,那么图中全等的三角形共有

A.2对 B.4对 C.6对 D.8对

12、如图，P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是

A. 　 　B.

C. △APE≌△APF　　D.

第17题图

第12题图

二、选择题

13、已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-∣c-a+b∣=_____________。

14、等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是 .

15、在△ABC中，三边分别为AB＝3，BC＝4，AC＝6，则△ABC这三边依次对应的高的比h₁:h₂:h₃＝ .

1 6、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4的值为

17、如图，AD是 的中线，DE=2AE。若 =____________

18、如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________

19、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是_____________三角形.

三、解答题

20、等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成9厘米和7厘米两部分，求这个三角形各边长.

21、如图，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，

CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求∠CDF的度数。

22. 如图，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°

­

2 3、如图,△ABC中,∠A=90°,∠C的平分线交AB于D,已知∠DCB=2∠B.求∠ADC的度数.

2 4、B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.

25、如图，正三角形ABC的边长为2，D为AC边上的一点，延长AB至点E，使BE=CD，连结DE，交BC于点P。

(1)求证：DP=PE；

(2)若D为AC的中点，求BP的长。

2 6、如图，在△ABC中，∠CAB=90°，F是AC边的中点， FE∥AB交BC于点E，D是BA延长线上一点，且DF=BE.

求证：AD=AB.

27. 如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

28. 如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．

（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．