【323211】（福建专版）2024春八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形学情评估（新版）华东

第19章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)

1．矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)

A．两组对边分别平行 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等

2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为(　　)

A. B. C．2 D．3

(第2题)

3．如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是(　　)

A．2 B．1 C. D．－

(第3题)　　　 (第4题)

4．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F.若AE＝4，CF＝3，则EF的长为(　　)

A．7 B．5 C．4 D．3

5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是(　　)

A．3 B. C．5 D.

(第5题)

6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(　　)

(第6题)

A．28° B．52° C．62° D．72°

7．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　　)

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

8．如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连结AF，则∠FAB的度数等于(　　)

A．22.5° B．45° C．30° D．15°

(第8题)　

9．如图，已知等边三角形ABC与正方形DEFG，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE.若AB＝10，DE＝4，则△EFC的面积为(　　)

A．7.5 B．8 C．6 D．10

(第9题)　 (第10题)

10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象上，且两点的横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为(　　)

A. B. C．4 D．5

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

11．如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是________．

(第11题)

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OC＝5，则AE＝________．

(第12题)　　　 (第13题)

13．如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，连结EF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过点F作FG⊥EF交BC于点G，连结GH，当AB，AD满足________(填数量关系)时，四边形EFGH为矩形．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、正方形ACPQ、正方形BDMC，四块阴影部分的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，则S₁＋S₂＋S₃＋S₄＝________．

(第14题)　　 (第15题)

15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，AC＝6，CD＝5.若点E在BC上，且AE⊥BC，则AE的长为______．

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边DC上运动(不含端点)，以AE为腰作等腰直角三角形AEF，连结DF.

(第16题)

下面有三个说法：

①当DE＝1时，AF＝；

②当DE＝2时，点B，D，F共线；

③当DE＝时，△ADF与△EDF面积相等．

所有正确说法的序号是__________．

三、解答题(本题共7小题，共70分)

17．(8分)如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.

(第17题)

18.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．

(第18题)

19．(8分)如图，O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC，交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.

(1)求证：四边形CDOF是矩形；

(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形吗？请说明理由．

(第19题)

20．(10分)如图，已知正方形ABCD，点E在边CD上．

(1)尺规作图：在边BC上找点F，使得∠AED＝∠AEF(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)探究DE，EF，BF的数量关系，并说明理由．

(第20题)

21．(10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当经过多少秒时，分别得到PQ∥CD和PQ＝CD?

(第21题)

22．(12分)图①是某重型卡车，图②是一个木箱从重型卡车上卸下时的平面示意图．已知重型卡车车身的高度AC为4 m，卸货时会利用到辅助挡板BA，此时BA落在BA′处(即BA′＝BA)，AC⊥A′C，经过测量得A′C＝2 m，ED＝5 m，四边形DEFG为矩形，当木箱底部顶点G与点A′重合时(A′C为水平线，AM，BN，A′C互相平行)．

(1)求BA的长；

(2)求图中木箱上点F到直线A′C的距离．

(第22题)

23．(14分)已知在矩形ABCD中，BC＝12，AB＝10，四边形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，DA上，AE＝2.

(1)如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；

(2)如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积(用含a的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，当△GFC的面积等于6时，求EF的长．

(第23题)

答案

一、1.B　2.C　3.C　4.B　5.C　6.C　7.C　8.A

9．C　思路点睛：作DM⊥BC，FN⊥BC，垂足分别为M，N，证明△DME≌△ENF，结合等边三角形的判定与性质得到ME＝NF＝2，根据面积公式S_△EFC＝×EC×FN计算即可．

10．D

二、11.(－3，－2)　12.4.8　13.AB＝AD　14.18

15.　思路点睛：根据菱形的性质以及勾股定理，可求得OD＝4，进而可知BD＝2OD＝8，由菱形的面积公式可知S_菱形ABCD＝AC·BD＝24，由AE⊥BC，可得S_菱形ABCD＝BC·AE＝24，求解即可得到答案．

16．①②

三、17.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°.∴∠EFB＋∠BEF＝90°.

∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.

∴∠EFB＋∠CFD＝90°.

∴∠BEF＝∠CFD.

在△BEF和△CFD中，

∴△BEF≌△CFD.∴BF＝CD.

18．证明：∵AD∥BC，

∴∠BAD＋∠B＝180°.

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠B＋∠BCD＝180°.∴AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥DC，

∴∠AMB＝∠AND＝90°.

在△AMB和△AND中，

∴△AMB≌△AND.∴AB＝AD.

∴四边形ABCD是菱形．

19．(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，

∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF.

∵∠AOC＋∠COB＝180°，

∴2∠COD＋2∠COF＝180°.

∴∠COD＋∠COF＝90°，即∠DOF＝90°.

∵OA＝OC，OD平分∠AOC，

∴OD⊥AC，即∠CDO＝90°.

∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，

∴四边形CDOF是矩形．

(2)解：当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∠AOC＝90°，

∴∠ACO＝∠A＝45°，∠COD＝∠AOC＝45°.

∴∠ACO＝∠COD.∴CD＝OD.

又∵四边形CDOF是矩形，

∴四边形CDOF是正方形．

20．解：(1)如图．

(2)EF＝DE＋BF.理由：如图，

(第20题)

连结AF，过点A作AQ⊥EF于点Q，则∠AQE＝90°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠B＝90°，AB＝AD.

∴∠AQE＝∠D.

∵AE＝AE，∠AED＝∠AEF，

∴△ADE≌△AQE.

∴QE＝DE，AD＝AQ.∴AQ＝AB.

在Rt△AQF和Rt△ABF中，

∴Rt△AQF≌Rt△ABF.∴BF＝QF.

∵EF＝QE＋QF，∴EF＝DE＋BF.

21．解：设经过t s(0≤t≤)．

①若PQ∥CD，则四边形PQCD为平行四边形．

∴PD＝QC，PQ＝CD，∴24－t＝3t，解得t＝6.

∴经过6 s，PQ∥CD，PQ＝CD.

②若PQ＝CD，如图所示，则四边形PQCD是梯形，

分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，则易得CF＝EQ，AD＝BF＝24 cm，PD＝EF.

(第21题)

∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.

∵PD＋2CF＝CQ，

∴(24－t)＋4＝3t，解得t＝7.∴经过7 s，PQ＝CD.

综上所述，经过6 s，PQ∥CD；经过6 s或7 s，PQ＝CD.

22．解：(1)∵AC⊥A′C，∴∠BCA′＝90°.

在Rt△BCA′中，设BA′＝BA＝x m，

则BC＝AC－AB＝(4－x)m，

∴BC²＋A′C²＝BA′²，即(4－x)²＋2²＝x²，

解得x＝，即BA的长为.

(2)如图，过点F作FQ⊥A′C于点Q，交NB于点H，易得∠FHB＝90°，FQ∥AC，∴∠BFH＝∠GBC.

(第22题)

∵四边形DEFG为矩形，ED＝5 m，∴FG＝ED＝5 m，

∴FB＝FG－BG＝5－＝(m)，∴FB＝BG.

∵∠FHB＝∠BCG＝90°，∠BFH＝∠GBC，

∴△FHB≌△BCG，∴FH＝BC.

由题意得HQ＝BC，∴FH＝HQ＝BC.

∵BA＝ m，AC＝4 m，∴BC＝4－＝(m)，

∴F到直线A′C的距离为＋＝3(m)．

23．解：(1)如图①，过点G作GM⊥BC于点M，

(第23题)

在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°.

在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，

∴∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，

∴△AHE≌△BEF，∴BF＝AE＝2.

∴FC＝BC－BF＝12－2＝10.

同上可证△MFG≌△BEF.∴GM＝BF＝2.

∴S_△GFC＝FC·GM＝×10×2＝10.

(2)如图②，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于点N，连结HF.在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，

∴∠AHF＝∠NFH.

在菱形EFGH中，EH＝FG，EH∥FG，

∴∠EHF＝∠GFH，∴∠AHE＝∠NFG.

又∵∠A＝∠GNF＝90°，EH＝GF，

∴△AHE≌△NFG，∴GN＝AE＝2.

∵FC＝BC－BF＝12－a，

∴S_△GFC＝FC·GN＝(12－a)×2＝12－a.

(3)当S_△GFC＝6时，12－a＝6，∴a＝6.

在△BEF中，EF＝＝＝10.