【330815】类比归纳专题：一元二次方程的解法

类比归纳专题：一元二次方程的解法

——学会选择最优的解法

类型一　形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程可用直接开平方法

1. 方程(x－3)²＝8的根为（ ）

A．x＝3＋2

B．x₁＝3＋2，x₂＝3－2

C．x＝3－2

D．x₁＝3＋2，x₂＝3－2

2. 方程－＝0的解是　　（ ）　　

3．定义一种运算“*”：当a≥b时，a*b＝a²＋b²；当a＜b时，a*b＝a²－b².则方程x*2＝12的解是___________.

4．解下列一元二次方程：

(1)(x＋)(x－)＝2；

(2)4(2x＋1)²－1＝24.

类型二　当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法

5．(2017·合肥瑶海区期中)将方程x²＋8x＋9＝0左边配成完全平方式后，方程变为(　　)

A．(x＋4)²＝7 B．(x＋4)²＝25

C．(x－4)²＝－9 D．(x－4)²＝－7

6．用配方法解下列方程：

(1)x²－6x＋7＝0；

(2)－x²＋2x＋3＝0.

类型三　若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，用因式分解法

7．方程2x²＝3x的解是(　　)

A．x＝0 B．x＝

C．x＝－ D．x₁＝0，x₂＝

8．(阜阳临泉县期中)方程(x－5)(x－6)＝x－5的解是(　　)

A．x＝5 B．x＝5或x＝6

C．x＝7 D．x＝5或x＝7

9．用因式分解法解下列方程：

(1)3x²＋6x＝0；

(2)4x²－121＝0；

(3)3x(2x＋1)＝4x＋2；

(4)(x－4)²＝(5－2x)²；

(5)2(x－3)²＝x²－9.

类型四　除了适合用直接开平方法和因式分解法外的方程均可用公式法求解

10．用公式法解下列方程：

(1)x²＋x－2＝0；

(2)x²－x＋＝0；

(3)3x²＋5x＝－4.

^*类型五　一元二次方程的特殊解法

一、十字相乘法

方法点拨：例如：解方程：x²＋3x－4＝0.

第1种拆法：4x－x＝3x(正确)，

第2种拆法：2x－2x＝0(错误)，

所以x²＋3x－4＝(x＋4)(x－1)＝0，所以x＋4＝0或x－1＝0，所以x₁＝－4，x₂＝1.

11．解一元二次方程x²＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程___________.

12．用十字相乘法解下列一元二次方程：

(1)x²－5x－6＝0；

(2)x²＋9x－36＝0.

二、换元法

方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元．一些形式复杂的方程可通过换元的方法转化成一元二次方程求解．

13．若实数a，b满足(4a＋4b)·(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝__________．

14．解方程：(x²＋5x＋1)(x²＋5x＋7)＝7.

参考答案与解析

1．B　2.x₁＝3，x₂＝2　3.x₁＝2，x₂＝－4

4．解：(1)原方程可化为x²－3＝2，∴x²＝5，∴x₁＝，x₂＝－.

(2)移项得4(2x＋1)²＝25，∴(2x＋1)²＝，∴2x＋1＝±，∴x₁＝，x₂＝－.

5．A

6．解：(1)移项得x²－6x＝－7，配方得x²－6x＋9＝－7＋9，即(x－3)²＝2，开平方得x－3＝±，∴x₁＝3＋，x₂＝3－.

(2)移项得x²－2x＝3，配方得x²－2x＋1＝3＋1，即(x－1)²＝4，开平方得x－1＝±2，∴x₁＝3，x₂＝－1.

7．D　8.D

9．解：(1)原方程可变形为3x(x＋2)＝0，∴x＝0或x＋2＝0，∴x₁＝0，x₂＝－2.

(2)原方程可变形为(2x＋11)(2x－11)＝0，∴2x＋11＝0或2x－11＝0，∴x₁＝－，x₂＝.

(3)原方程可变形为(2x＋1)(3x－2)＝0，∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x₁＝－，x₂＝.

(4)原方程可变形为(x－4＋5－2x)(x－4－5＋2x)＝0，∴(1－x)(3x－9)＝0，∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x₁＝1，x₂＝3.

(5)原方程可变形为(x－3)(2x－6－x－3)＝0，∴x－3＝0或x－9＝0，∴x₁＝3，x₂＝9.

10．解：(1)∵a＝1，b＝1，c＝－2，∴b²－4ac＝1－4×1×(－2)＝9>0，∴x＝＝，∴x₁＝1，x₂＝－2.

(2)原方程可化为8x²－4x＋1＝0，则a＝8，b＝－4，c＝1，∴b²－4ac＝(－4)²－4×8×1＝0，∴x＝＝，∴x₁＝x₂＝.

(3)原方程可化为3x²＋5x＋4＝0，则a＝3，b＝5，c＝4，∴b²－4ac＝5²－4×3×4＝－23＜0，∴原方程无实数解．

11．x－1＝0(或x＋3＝0)

12．解：(1)原方程可变形为(x＋1)(x－6)＝0，解得x₁＝－1，x₂＝6.

(2)原方程可变形为(x＋12)(x－3)＝0，解得x₁＝－12，x₂＝3.

13．－或1

14．解：设x²＋5x＋1＝t，则原方程可化为t(t＋6)＝7，∴t²＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.当t＝1时，x²＋5x＋1＝1，∴x²＋5x＝0，∴x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x₁＝0，x₂＝－5；当t＝－7时，x²＋5x＋1＝－7，∴x²＋5x＋8＝0.∵b²－4ac＝5²－4×1×8＜0，此时方程无解．∴原方程的解为x₁＝0，x₂＝－5.