【330723】第一章达标检测卷

第一章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)

A．40° B．50° C．60° D．70°

2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(　　)

A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，17

3．下列命题的逆命题是真命题的是(　　 )

A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等

C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|

4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)

A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BDAD的值为(　　)

A. B. C. D.

6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(　　)

A．2.5 B．1.5 C．2 D．1

7．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？(　　)

A．△ABC三条角平分线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处

C．△ABC三条高的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 (　　)

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm

9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　)

A．10 B．12 C．24 D．48

10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

二、填空题(每题3分，共24分)

11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中____________________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．

12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．

13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．

14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．

16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．

17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．

18. 如图，已知∠MON＝30°，点A₁，A₂，A₃，…在射线ON上，点B₁，B₂，B₃，…在射线OM上，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…均为等边三角形，若OA₁＝1，则△A₆B₆A₇的边长为________．

三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)

19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.

(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；

(2)求△ABE的周长．

20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．

21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.

22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.

(1)求证：△BED≌△CFD；

(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．

24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.

25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.

(1)求点B的坐标．

(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．

(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

答案

一、1.D　2.D

3．C　点拨：A项的逆命题：若a＋b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B项的逆命题：相等的角是直角，是假命题；C项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D项的逆命题：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题．故选C.

4．A　5.C　6.D　7.D　8.C　9.A

10．A　点拨：由题意得BD＝CD，DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴①正确；易知AE＝AF，BF＝CE，∴CA－AB＝AE＋CE－(BF－AF)＝AE＋AF＝2AE，∴②正确；∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，∠FBD＝∠ECD，∴∠BDC＋∠FAE＝180°－∠DBC－∠DCB＋(∠FBD＋∠DBC)＋(∠DCB－∠ECD)＝180°，∴③正确；由已知条件无法得到∠DAF＋∠CBD＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.

二、11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行

12．2　13.2

14．45°　点拨：如图，∵CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∴∠AEC＝90°，∠5＝∠6＝90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4.

在△ABD和△CHD中，

∴△ABD≌△CHD(AAS)．

∴AD＝CD.∴△ADC为等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°.

　(第14题)

15．15　

16．4　点拨：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC.因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值为4.

　(第16题)

17．100°

18．32　点拨：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A₁B₁＝A₂B₁，∠A₁B₁A₂＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA₁B₁＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB₁A₁＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.

又∵∠A₁B₁A₂＝60°，

∴∠A₂B₁B₂＝180°－60°－30°＝90°.∵△A₂B₂A₃是等边三角形，

∴∠B₂A₂A₃＝60°.∴∠B₁A₂B₂＝60°.∴∠B₁B₂A₂＝90°－∠B₁A₂B₂＝30°.∴A₂B₂＝2B₁A₂＝2.同理得出B₃A₃＝2B₂A₃，∴A₃B₃＝4B₁A₂＝4.以此类推，A₆B₆＝32B₁A₂＝32.

三、19.解：(1)作图如图所示．

(第19题)

(2)∵DE垂直平分AC，

∴AE＝EC，

∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.

∵AB＝5，BC＝7，

∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，

即△ABE的周长为12.

20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．

∵∠ADC＝125°，

∴∠CDE＝55°.

∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.

又∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.

又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.

∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.

21．证明：∵四边形ABCD是长方形，

∴∠B＝∠C＝90°.

∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.

∴∠EFB＋∠CFD＝90°.

∵∠EFB＋∠BEF＝90°，

∴∠BEF＝∠CFD.

在△BEF和△CFD中，

∴△BEF≌△CFD(ASA)．

∴BF＝CD.

22．(1)证明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，

∴∠BEC＝∠BDC＝90°.

∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

(2)解：点O在∠BAC的平分线上．

理由：在△EOB和△DOC中，

OB＝OC，∠BEO＝∠CDO，

∠EOB＝∠DOC，

∴△EOB≌△DOC，

∴OE＝OD.

又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，

∴OE⊥AE，OD⊥AD.

∴点O在∠BAC的平分线上．

23．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

∵D是BC边的中点，

∴BD＝CD.

在△BED与△CFD中，

∵∠DEB＝∠DFC，

∠B＝∠C，BD＝CD，

∴△BED≌△CFD(AAS)．

(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.

又∵DE⊥AB，

∴∠EDB＝30°.

∴在Rt△BED中，BD＝2BE＝2.

∴BC＝2BD＝4.

∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12.

24．证明：连接PA，PB，PC，如图．

(第24题)

∵AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，

∴S_△ABC＝×BC×AD，S_△PAB＝×AB×PE，S_△PAC＝×AC×PF，S_△PBC＝×BC×PG.

∵S_△ABC＝S_△PAB＋S_△PAC＋S_△PBC，

∴×BC×AD＝(AB×PE＋AC×PF＋BC×PG)．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∴BC×AD＝BC×(PE＋PF＋PG)，

∴AD＝PE＋PF＋PG.

25．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.

∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，

∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2.

∴∠BOC＝30°.

又∵∠OCB＝90°，

∴BC＝OB＝1，∴OC＝.

∴点B的坐标为(，1)．

(第25题)

(2)∠ABQ的大小始终不变．

∵△APQ，△AOB均为等边三角形，

∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°.

∴∠PAO＝∠QAB.

在△APO与△AQB中，

∴△APO≌△AQB(SAS)．

∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.

(3)如图②，当OQ∥AB时点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，

∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.

∴∠OBQ＝30°.

又OB＝OA＝2，

∴OQ＝OB＝1，

∴BQ＝.

由(2)可知，△APO≌△AQB，

∴OP＝BQ＝.

∴此时点P的坐标为(－，0)．