【324250】2024八年级数学下册 专题6.25 反比例函数（对称性问题）（培优篇）（新版）浙教版

专题6.25 反比例函数（对称性问题）（培优篇）

一、单选题

1．如图，若双曲线 与它的一条对称轴 交于A、B两点，则线段AB称为双曲线 的“对径”．若双曲线 的对径长是 ，则 k的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．

2．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y= 和y= 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：① = ； ②阴影部分面积是 （k₁+k₂）；③当∠AOC=90°时，|k₁|=|k₂|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①④

3．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB=90°．点D是 轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数 （ ）的图象经过点A,E．若△ACE的面积为6，则 的值为（  ）

A． B． C． D．

4．已知某函数的图象C与函数 的图象关于直线 对称．下列命题：①图象C与函数 的图象交于点 ；②点 在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④ ， 是图象C上任意两点，若 ，则 ．其中真命题是（    ）

A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④

5．如图，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（　　）

A．1+ B．4+ C．4 D．-1+

6．点 关于y轴的对称点在反比例函数 的图像上，下列说法不正确的是（    ）

A．y随x的增大而减小

B．点 在该函数的图像上

C．当 时，

D．该函数图像与直线 的交点是（ ， ）和（- ，- ）

7．如图，矩形 的顶点坐标分别为 ，动点F在边 上（不与 重合），过点F的反比例函数 的图象与边 交于点E，直线 分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若 ，则 的面积为 ；②若 ，则点C关于直线 的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是 ；④若 ，则 ．其中正确的命题个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．已知某函数的图象C与函数 的图象关于直线 对称下列命题：①图象C与函数 的图象交于点 ；② 在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④ ， 是图象C上任意两点，若 ，则 ，其中真命题是（    ）

A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④

9．如图，一次函数 和 与反比例函数 的交点分别为点 、 和 ，下列结论中，正确的个数是（ ）

①点 与点 关于原点对称；② ；③点 的坐标是 ；④ 是直角三角形．

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，矩形 的边 ， ，动点 在边 上（不与 、 重合），过点 的反比例函数 的图象与边 交于点 ，直线 分别与 轴和 轴相交于点 和 ．给出以下命题：①若 ，则 的面积为 ；②若 ，则点 关于直线 的对称点在 轴上；③满足题设的 的取值范围是 ；④若 ，则 ；其中正确的命题个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．已知A、B两点为反比例函数 的图像上的动点，他们关于y轴的对称点恰好落在直线 上，若点A、B的坐标分别为 且 ，则 ________．

12．如图反比例函数 的图像经过点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上一点，若 的面积为2，则该反比例函数的解析式为_____________

13．如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为 .在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．

（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是；

（2）设P(t，0)，当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是．

14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的对称中心 在反比例函数 的图象上，边 在 轴上，点 在 轴上，已知 ．若该反比例函数图象与 交于点 ，则点的 横坐标是_________．

15．如图， 是反比例函数 上的一个动点，过 作 轴， 轴．

（1）若矩形的对角线 ，则矩形 周长为________；

（2）如图，点 在 上，且 ，若 关于直线 的对称点 恰好落在坐标轴上，连结 ，则 的面积为___________．

16．如图，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，点B在x轴上，∠OAB=90°，反比例函数 （ ）的图象关于AO所在的直线对称，且与AO、AB分别交于D、E两点，过点A作AH⊥OB交x轴于点H，过点E作EF OB交AH于点G，交AO于点F，则四边形OHGF的面积为_________

17．如图，矩形 的顶点坐标分别为 、 、 、 ，动点 在边 上（不与 、 重合），过点 的反比例函数 的图象与边 交于点 ，直线 分别与 轴和 轴相交于点 和 ，给出下列命题：①若 ，则 的面积为 ；②若 ，则点 关于直线 的对称点在 轴上；③满足题设的 的取值范围是 ；④若 ，则 ．其中正确的命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________．

三、解答题

19．综合与探究

如图1，反比例函数的图象 经过点 ，点 的横坐标是－2，点 关于坐标原点 的对称点为点 ，作直线 ．

1. 判断点 是否在反比例函数 的图象上，并说明理由；

2. 如图1，过坐标原点 作直线交反比例函数 的图象于点 和点 ，点 的横坐标是4，顺次连接 ， ， 和 ．求证：四边形 是矩形；

3. 已知点 在 轴的正半轴上运动，点 在平面内运动，当以点 ， ， 和 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点 的坐标．

20．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ．

(1)点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；

(2)连接 、 ，若四边形 为正方形．

①求 、 的值；

②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标．

21．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

1. 当 时，求k的值；

2. 点B关于y轴的对称点为C，连接 ；

①判断 的形状，并说明理由；

②当 的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接 ，使 的面积等于 面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

22．如图，矩形 的面积为8，它的边 位于x轴上．双曲线 经过点A，与矩形的边 交于点E，点B在双曲线 上，连接 并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接 ， ．

1. 求k的值；

2. 求 的面积；

3. 求证：四边形AFGB为平行四边形．

23．如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 ，与 轴交于点 ．

(1)求 和 的值．

(2)若点 与点 关于直线 对称，连接 ．

①求点 的坐标；

②若点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，以点 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．

24．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（12，5），双曲线 的图象经过点A．

(1)菱形OABC的边长为____；

(2)求双曲线的函数关系式；

(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；

②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．

参考答案

1．B

【分析】根据题中的新定义：可得出对径AB=OA+OB=2OA，由已知的对径长求出OA的长，过A作AM垂直于x轴，设A（a，a）且a>0，在直角三角形AOM中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值．

解：过A作AM⊥x轴，交x轴于点M，如图所示：

设A(a,a)，a>0，可得出AM=OM=a，

又∵双曲线的对径AB= ，

∴OA=OB= ，

在Rt△AOM中,根据勾股定理得：AM²+OM²=OA²，

则a²+a²=( )²，

解得：a=2或a=−2(舍去)，

则A(2,2)，

将x=2,y=2代入反比例解析式得：2= ，

解得：k=4

故选B

2．D

解：试题分析：过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E．∵ ，

∴CD=AE．由题意，易得四边形ONCD与四边形OMAE均为矩形，∴CD=ON，AE=OM，∴ON=OM．

∵，CN·ON= ，AM·OM= ∴ ，结论①正确．

由题意 ＞0， ＜0，∴阴影部分的面积为 ，∴结论②错误．

当∠AOC=90°时，易得△CON∽△OAM，要使 成立，则需△CON≌△OAM，

而△CON与△OAM不一定全等，故结论③错误．

若四边形OABC为菱形，则OA=OC，∵ON=OM，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），

∴ = ，即 =－ ，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，结论④正确．

考点：反比例函数的性质、三角形全等．

3．C

【分析】过A作 ,连接OC、OE，根据点A与点B关于原点对称，∠ACB=90°，AC平分∠BAD得出 ，从而得出三角形AEC的面积与三角形AOE的面积相等，设 ，根据E是AD的中点得出 得出三角形OAE的面积等于四边形AFGE的面积建立等量关系求解．

解：过A作 ,连接OC，连接OE：

∵点A与点B关于原点对称，∠ACB=90°

∴

又∵AC平分∠BAD

∴

∴

∴

设 ，根据E是AD的中点得出:

∴

解得：

故答案选：C．

【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，有一定的难度．将三角形AEC的面积转化与三角形AOE的面积相等是解题关键．

4．A

【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点 关于y=2的对称点坐标在函数 图象上，即可判定②正确；由 上任意一点为 ，则点 与 对称点的纵坐标为 可判断③错误；由关于 对称点性质可判断④不正确；

解： 点 ， 是函数 的图象的点，也是对称轴直线 上的点，

∴点 ， 是图象 与函数 的图象交于点；

①正确；

点 ， 关于 对称的点为点 ， ，

， 在函数 上，

点 ， 在图象 上；

②正确；

中 ， ，

取 上任意一点为 ，

则点 与 对称点的纵坐标为 ；

图象C上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误；

， ， ， 关于 对称点为 ， ， ， 在函数 上，

， ，

若 ，则 ；

若 或 ，则 ；

④不正确；

故选 ．

【点拨】本题考查反比例函数图象及性质及轴对称的性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．

5．A

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=- ，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（- ，t），于是利用PB=PB′得t-2=|- |= ，然后解方程可得到满足条件的t的值．

解：如图，

∵点A坐标为（-2，2），

∴k=-2×2=-4，

∴反比例函数解析式为y=- ，

∵OB=AB=2，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∵PQ⊥OA，

∴∠OPQ=45°，

∵点B和点B′关于直线l对称，

∴PB=PB′，BB′⊥PQ，

∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，

∴B′P⊥y轴，

∴点B′的坐标为（- ，t），

∵PB=PB′，

∴t-2=|- |= ，

整理得t²-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），

∴t的值为 ．

故选A．

【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．

6．A

【分析】先确定对称点坐标为（-1，-3），将其代入反比例函数 中求得k=3，得到函数解析式，根据函数的性质解答.

解：点 关于y轴的对称点坐标为（-1，-3），

将（-1，-3）代入 ，得k= ，

∴反比例函数解析式为 ，

∵k=3>0，

∴在每个象限内y随着x的增大而减小，故A错误；

当x=1时，y=3，故B正确；

当 时， ，故C正确；

解方程组 ，得 或 ，

故函数 图像与直线 的交点是（ ， ）和（- ，- ），

故D正确，

故选：A.

【点拨】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，轴对称的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问题.

7．D

【分析】①若 ，则计算 ，故命题①正确；②如答图所示，若 ，可证明直线 是线段 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点 不经过点 ，所以 ，即可得出 的范围；④求出直线 的解析式，得到点 、 的坐标，然后求出线段 、 的长度；利用算式 ，求出 ，故命题④正确．

解：

命题①正确．理由如下：

，

， ， ，

， ．

，故①正确；

命题②正确．理由如下：

，

， ， ，

， ．

如答图，过点 作 轴于点 ，则 ， ；

在线段 上取一点 ，使得 ，连接 ．

在 中，由勾股定理得： ，

．

在 中，由勾股定理得： ．

，

又 ，

直线 为线段 的垂直平分线，即点 与点 关于直线 对称，故②正确；

命题③正确．理由如下：

由题意，点 与点 不重合，所以 ，

，故③正确；

命题④正确．理由如下：

设 ，则 ， ．

设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，

．

令 ，得 ，

；

令 ，得 ，

．

如答图，过点 作 轴于点 ，则 ， ．

在 中， ， ，由勾股定理得： ；

在 中， ， ，由勾股定理得： ．

，解得 ，

，故命题④正确．

综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，

故选：D．

【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．

8．A

【分析】根据题意画出图形，①将 代入 得 ，从而可判断①正确；②令 时， ，即 关于 时的对称点为 ，从而可判断②正确；③根据图形分析可得C右侧图与x轴间距离小于4，但y轴左侧与x轴距离大于4，从而可判断③错误；④由图像即可判断④错误．

解：由图像C与反比例函数 关于 对称可得如下图，

①当 时， ，故①正确；

②当 时， ，即 关于 时的对称点为 ，故②正确；

③如图： 与 之间距离小于2，即C与x轴间距离小于4（C右侧图），但y轴左侧与x轴距离大于4，故③错误；

④当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；

∴当x₁＞0＞x₂时，y₂＞y₁故④错误．

故答案为：A．

【点拨】本题考查了反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．

9．D

【分析】根据题意，由反比例函数的性质和一次函数的性质分别求出点A、B、C的坐标，然后通过计算，分别进行判断，即可得到答案．

解：根据题意，

由 ，解得： 或 ，

∴点A为（1，2），点B为（ ， ），

∴点A与点B关于原点对称；故①③正确；

由 ，解得： 或 ，

∴点C为（ ， ）；

∴ ， ，

∴ ，故②正确；

∵ ， ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ 是直角三角形，故④正确；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理求两点间的长度，以及两直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题．

10．B

【分析】①若 ，则计算 ，故命题①正确；

②如答图所示，若 ，可证明直线 是线段 的垂直平分线，故命题②正确；

③因为点 不经过点 ，所以 ，即可得出 的范围；

④求出直线 的解析式，得到点 、 的坐标，然后求出线段 、 的长度；利用算式 ，求出 ，故命题④错误．

解：命题①正确．理由如下：

，

， ，

， ，

，故①正确；

命题②正确．理由如下：

，

， ，

， ．

如答图，过点 作 轴于点 ，则 ， ；

在线段 上取一点 ，使得 ，连接 ．

在 中，由勾股定理得： ，

．

在 中，由勾股定理得： ．

，

又 ，

直线 为线段 的垂直平分线，即点 与点 关于直线 对称，故②正确；

命题③错误．理由如下：

由题意，点 与点 不重合，所以 ，

，故③错误；

命题④错误．理由如下：

设 ，则 ， ．

设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，

．

令 ，得 ，

；

令 ，得 ，

．

如答图，过点 作 轴于点 ，则 ， ．

在 中， ， ，由勾股定理得： ；

在 中， ， ，由勾股定理得： ．

，解得 ，

，故命题④错误．

综上所述，正确的命题是：①②，共2个，

故选：B．

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强，难度较大．

11．1

【分析】设点 ，关于y轴得对称点 ，设点 ，关于y轴得对称点 ，代入 ，求出k，再求 即可．

解：A、B两点为反比例函数 的图像上，点A、B的坐标分别为 ，

则点 ，关于y轴得对称点 ，设点 ，关于y轴得对称点 ，

把A′、B′坐标分别代入 得，

和 ，

两式相减得， ，解得 ，

则 ，

，

故答案为1．

【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数知识，通过设坐标建立等量关系，表示出比例系数．

12．

【分析】根据题意，设点A为（x，y），则AB=2y，由点C在y轴上，则△ABC的AB边上的高为 ，结合面积公式，即可求出k的值.

解：∵反比例函数 的图像经过点 ，

∴设点A为（x，y），且点A在第二象限，

∵点 与点 关于 轴对称，

∴AB=2y，

∵点C在y轴上，

∴△ABC的AB边上的高为 ，

∴ ，

∴ ，

∵点A在第二象限，则 ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴反比例函数的解析式为： .

故答案为： .

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的几何意义，能根据三角形的面积求出xy的值是解此题的关键．

13．（1）（4，0）；（2）4≤t≤ 或 ≤t≤－4

【分析】（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；

（2）分别求出O′和B′在双曲线上时，P的坐标即可．

解：（1）当点O´与点A重合时，

∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．

AP′=OP′，

∴△AOP′是等边三角形，

∵B（2，0），

∴BO=BP′=2，

∴点P的坐标是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，

∴∠MP′O=30°，

∴OM= t，OO′=t，

过O′作O′N⊥X轴于N，

∠OO′N=30°，

∴ON= t，NO′= t，

∴O′（ t， t），

根据对称性可知点P在直线O′B′上，

设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得 ，

解得： ，

∴y=﹣ x+ t①，

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴OA=4，AB=2 ，

∴A（2，2 ）），代入反比例函数的解析式得：k=4 ，

∴y= ②，

①②联立得， x²﹣ tx+4 =0，

即x²﹣tx+4=0③，

b²﹣4ac=t²﹣4×1×4≥0，

解得：t≥4，t≤﹣4．

又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+ t，

当点B′为直线与双曲线的交点时，

由③得，（x﹣ t）²﹣ +4=0，

代入，得（1+ t﹣ t）²﹣ +4=0，

解得t=±2 ，

而当线段O′B′与双曲线有交点时，

t≤2 或t≥﹣2 ，

综上所述，t的取值范围是4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．

【点拨】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．

14．

【分析】过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2， ），从而求出反比例函数的解析式，易求D（3，0）， ，待定系数法求出DE的解析式为 ，联立反比例函数与一次函数即可求点Q的坐标．

解：过点P作x轴垂线PG，连接BP，

∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，

∴BP＝2，G是CD的中点，

∴CG=1，CP=2，

∴PG＝ = ，

∴P（2， ），

∵P在反比例函数 上，

∴k＝2 ，

∴ ，

∵OD=OC+CD=3,BE=2BP=4,

∴D（3，0），E（4， ），

设DE的解析式为y＝mx＋b，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

联立方程 解得

∵Q点在第一象限，

∴ 点横坐标为 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．

15．          4或

【分析】（1）设矩形 的两边为 、 ，利用反比例函数 的几何意义得到 ，再根据勾股定理得到 ，根据完全平分公式变形得到 ，则可计算出 ，从而得到矩形 的周长；

（2）当 关于直线 的对称点 恰好落在 轴上，如图2， 与 相交于点 ，利用三角形面积公式得到 ，再根据对称轴的性质得 垂直平分 ， ，接着证明 垂直平分 得到 ，所以 ，则 ；当 关于直线 的对称点 恰好落在 轴上，如图3，证明四边形 为正方形得到 ， ，则可计算出 ，而 ，于是得到 ．

解：（1）设矩形 的两边为 、 ，则 ，

矩形的对角线 ，

，

，

，

，

矩形 的周长为 ，

故答案为 ；

（2）当 关于直线 的对称点 恰好落在 轴上，如图2， 与 相交于点 ，

矩形 的面积 ，

而 ，

，

点 与点 关于 对称，

垂直平分 ， ，

，

，

，

，

，

垂直平分 ，

，

，

；

当 关于直线 的对称点 恰好落在 轴上，如图3，

点 与点 关于 对称，

， ，

为等腰直角三角形，

平分 ，

四边形 为正方形，

， ，

，

，

而 ，

，

综上所述， 的面积为4或 ，

故答案为4或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数 的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．

16．

【分析】先根据反比例函数的性质可得直线 的解析式为 ，从而可得 ，再根据等腰直角三角形的判定可得 是等腰直角三角形，从而可得 ，然后设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由此可得 ， ， ，从而可得 ，最后利用 面积减去 面积即可得．

解： 反比例函数 的图象关于 所在的直线对称，

直线 的解析式为 ，

，

， ，

，

是等腰直角三角形，

（等腰三角形的三线合一），

设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

， ， ，

，即 ，

则四边形 的面积为 ，

，

，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰直角三角形的三线合一等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．

17．①②

【分析】①若k＝4，则计算S_△OEF＝ ，故命题①正确；

②若 ，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；

③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；

④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式 ，求出k＝1，故命题④错误．

解：命题①正确．理由如下：

∵k＝4，

∴E（ ，3），F（4，1），

∴CE＝4− ＝ ，CF＝3−1＝2．

∴S_△OEF＝S_矩形AOBC−S_△AOE−S_△BOF−S_△CEF

＝S_矩形AOBC− OA•AE− OB•BF− CE•CF＝4×3− ×3× − ×4×1− × ×2＝12−2−2− ＝ ，故命题①正确；

命题②正确．理由如下：

∵ ，

∴E（ ，3），F（4， ），

∴CE＝4− ＝ ，CF＝3− ＝ ．

如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝ ；

在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝ ，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN²＝EN²−EM²= ，

∴MN＝ ，

∴BN＝OB−OM−MN＝4− − ＝ ．

在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF²＝BN²＋BF²= ，

∴NF＝ ．

∴NF＝CF，

又EN＝CE，

∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，

故命题②正确；

命题③错误．理由如下：

由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误；

命题④正确．理由如下：

设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．

设直线EF的解析式为y＝ax＋b，

则 ，解得 ，

∴y＝ x＋3m＋3．

令x＝0，得y＝3m＋3，

令y＝0，得x＝4m＋4，

∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．

如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．

在Rt△ADE中，AD＝OD−OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；

在Rt△MEG中，MG＝OG−OM＝（4m＋4）−4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．

∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，解得m＝ ，

∴k＝12m＝1，故命题④错误．

综上所述，正确的命题是：①②，

故答案为：①②．

【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键．

18．

【分析】连接 、 交于点 ，作 轴于点 ，设线段 ，得 ，由菱形 和菱形 关于点 成中心对称结合 可得点 和点 的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求 ，最后求得 ．

解：连接 、 交于点 ，作 轴于点 ，

设 ，

，

， ，

菱形 和菱形 关于点 成中心对称，点 ， 在 轴的正半轴上，

轴， ，

，

，

，

， ，

点 ， ， ，

点 和点 在反比例函数图象上，

，

解得： （舍 或 ，

， ，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了菱形的性质、含 角的直角三角形三边关系、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用菱形的性质表达出点 和点 的坐标．

19．(1)点 在反比例函数 的图象上，理由见分析；(2)见分析；(3) ， 和

【分析】（1）求出点B的坐标，判断即可；

（2）证明OA=OB，OC=OD，推出四边形ADBC是平行四边形，再证明AB=CD，可得结论；

（3）当四边形OBPQ是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P的坐标为 ，然后根据邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可．

解：（1）结论：点 在反比例函数 的图象上，

理由如下：∵反比例函数 的图象经过点 ，点 的横坐标是－2，

∴把 代入 中，得 ，

∴点 的坐标是 ，

∵点 关于坐标原点 的对称点为点 ，

∴点 的坐标是 ，

把 代入 中，得 ，

∴点 在反比例函数 的图象上；

（2）证明：在反比例函数 中令x=4则y=-2，

∵过坐标原点 作直线交反比例函数 的图象于点 和点 ，

∴C，D关于原点对称，

∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，

∵A，B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴四边形ACBD是平行四边形，

∵CD= ，AB= ，

∴AB=CD，

∴四边形ACBD是矩形；

（3）设点P的坐标为 ，如图，

当四边形OBP₁Q₁是菱形时，可得 ，

∴ ，解得 ，

∴P₁ ；

当四边形OBQ₂P₂是菱形时，可得 ，

∴ ，

∴P₂ ；

当四边形OP₃BQ₃是菱形时，可得 ,

∴ ，

解得 ，

∴P₃ ，

综上所述，满足条件的点 的坐标分别为 ， 和 ．

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

20．(1)点 在这个反比例函数的图像上，理由见分析；(2)① ， ；②点 的坐标为

【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据轴对称的性质得到 ， 平分 ，如图，连接 交 于 ，得到 ，再结合等腰三角形三线合一得到 为 边 上的中线，即 ，求出 ，进而求得 ，于是得到点 在这个反比例函数的图像上；

（2）①根据正方形的性质得到 ， 垂直平分 ，求得 ，设点 的坐标为 ，得到 （负值舍去），求得 ， ，把 ， 代入 得，解方程组即可得到结论；②延长 交 轴于 ，根据已知条件得到点 与点 关于 轴对称，求得 ，则点 即为符合条件的点，求得直线 的解析式为 ，于是得到结论．

（1）解：点 在这个反比例函数的图像上．

理由如下：

一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，

设点 的坐标为 ，

点 关于直线 的对称点为点 ，

， 平分 ，

连接 交 于 ，如图所示：

，

轴于 ，

轴， ，

，

，

，

在Rt 中， ，

，

为 边 上的中线，即 ，

，

，

，

点 在这个反比例函数的图像上；

（2）解：① 四边形 为正方形，

， 垂直平分 ，

，

设点 的坐标为 ，

， ，

，

（负值舍去），

， ，

把 ， 代入 得 ，

；

②延长 交 轴于 ，如图所示：

， ，

点 与点 关于 轴对称，

，则点 即为符合条件的点，

由①知， ， ，

， ，

设直线 的解析式为 ，

，解得 ，

直线 的解析式为 ，

当 时， ，即 ，故当 最大时，点 的坐标为 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．

21．(1) ；(2)① 为直角三角形，理由见分析；②点P的坐标为 或 或 或 ．

【分析】（1）设点B的坐标为 ，则点 ，则 ，即可求解；

（2）①点A、C的横坐标相同， 轴，点B关于y轴的对称点为C，故 轴，即可求解；②过点C作直线 ，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在 下方等间隔作直线 交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解．

（1）解：设点B的坐标为 ，则点 ，则：

，

解得 （负值已舍去），

故点B的坐标为 ，

将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶ ，

解得∶ ；

（2）解：① 为直角三角形，理由∶

设点 ，则点 ，

∵点A、C的横坐标相同，

∴ 轴，

∴点B关于y轴的对称点为C，

∴ 轴，

∴ ，

∴ 为直角三角形；

②由①得∶ ，

则 的面积 ，

解得 （负值已舍去），

∴点B的坐标为 ，C的坐标为 ，

将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶ ，解得 ，

∴反比例函数表达式为 ①；

过点C作直线 ，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，

同样在AB下方等间隔作直线 交反比例函数于点P，则点P也符合要求．

∵ ，

∴设直线m的表达式为 ，

将点C的坐标代入 ，解得 ，

故直线m的表达式为 ②，

根据图形的对称性，则直线n的表达式为 ③，

联立①②并解得∶

或 ，

联立①③并解得∶

或 ，

∴点P的坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强．

22．(1) ；(2) ；(3)证明见分析．

【分析】（1）设 ， ，利用点A和点B的纵坐标相等，以及矩形 面积为8，即可求出k的值；

（2）求出直线 的函数解析式为： ，进一步可求出 ，再求出 ， ，即可求出 ；

（3）表示出 ，进一步求出 ， ，利用 ， ，即可证明．

（1）解：设 ， ，

根据题意可知： ，整理可得： ．

（2）解：∵ ，

∴ ，

∵点E在 ，且点B和点E的横坐标相等，

∴ ，即 ，

设直线 的函数解析式为： ，将 和 代入可得：

，解得： ，

故直线 的函数解析式为： ，

令 ，可得： ，

∴ ，

∵ ，即 ，

∴ ，

∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，

∴ ，

∴ ．

（3）证明：∵ ，点G与点О关于点C对称，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形．

【点拨】本题考查反比例函数，一次函数的综合，平行四边形的判定，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定定理，结合图形找出点的坐标之间的联系．

23．(1) ；(2)① ② 的坐标为 或 或

【分析】 将点 代入 可得 ，直线 的表达式为 ，把点 代入 得 ，故 ；

连接 ，过 作 轴于 ，由 ，知 是等腰直角三角形， ，根据点 与点 关于直线 对称得 ，故点 的坐标为 ；

设 ，又 ，分三种情况，由平行四边形对角线互相平分列方程可解得答案．

解：（1）将点 代入 得： ，

，

直线 的表达式为 ，

把点 代入 ，得： ，

，

将 代入 得： ，

；

（2）①连接 ，过 作 轴于 ，如图：

，

，

是等腰直角三角形，

，

由点 与点 关于直线 对称，知 ≌ ，

，即 ，

，

点 的坐标为 ；

以点 为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：

设 ，又 ，

Ⅰ 若 是对角线，则 的中点重合，

，

解得 ，

；

Ⅱ 若 为对角线，则 的中点重合；

，

解得 ，

；

Ⅲ 若 为对角线，则 的中点重合，

，

解得 ，

，

综上所述， 的坐标为 或 或 ．

【点拨】本题考查反比例函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，轴对称，平行四边形等知识，解题的关键是方程思想的应用．

24．(1)13；(2)反比例函数解析式为 ；(3)①点E的坐标为（12，-5）；（4，-15）；（- ，25）；②点Q的坐标为（3，-20）

【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（12，5），得到AJ=JC=12，OJ=BJ=5，则 ；

（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；

（3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=15，则Q点的横坐标为3，由此求解即可．

（1）解：如图所示，连接AC交y轴于J，

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，

∵点C的坐标为（12，5），

∴AJ=JC=12，OJ=BJ=5，

∴ ，

故答案为：5；

（2）解：∵AJ=JC=12，OJ=BJ=5，

∴点A的坐标为（-12，5），

∵反比例函数 经过点A（-12，5），

∴ ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ；

（3）解：①设E点坐标为（m， ），

∵OJ=BJ=5，

∴OB=10，

∴B点坐标为（0，10），

∵点B关于点O的对称点为D点，

∴D点坐标为（0，-10），

∴直线l为 ，

设P点坐标为（a，-10）

当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，

∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，

∴ ，

∴ ，

∴点E的坐标为（ ，25）；

如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，

∵ 与 的中点坐标相同，

∴ ，

∴ ，

∴ 的坐标为（12，-5）；

同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，点 的坐标为（ ，-15）；

综上所述，当E点坐标为（ ，-5）或（4，-15）或（ ，25）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；

②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，

∵点A的坐标为（-12，5），直线l为 ，

∴AT=15，

∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，

∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，

∴∠APT=∠QAR，

又∵AP=QA，

∴△APT≌△QRA（AAS），

∴AT=RQ=15，

∴Q点的横坐标为3，

∵Q在反比例函数 上，

∴ ，

∴点Q的坐标为（3， ）．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．