【324251】2024八年级数学下册 专题6.26 反比例函数（最值问题）（基础篇）（新版）浙教版

专题6.26 反比例函数（最值问题）（基础篇）

反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最值问题，还有就是利用非负性求最值。本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选了部分最值问题供大家选择使用。

一、单选题

1．已知反比例函数 ，当 时， 有（   ）

A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值

2．已知反比例函数 ，当 时，y的最大值是6，则当 时，y有（　　）

A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值

3．设y₁＝ ，y₂＝ （k＞1），当2≤x≤4时，函数y₁的最大值是a，函数y₂的最小值是a﹣ ，则ak＝（　　）

A．2 B． C． D．

4．如图所示，双曲线y＝ 上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．2

5．如图，直线 与双曲线 交于 两点，则当线段 的长度取最小值时， 的值为（    ）

A． B． C． D．

6．如图过原点的直线 与反比例函数 图象交于M，N两点，则线段MN的长度的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．5

7．已知反比例函数 ，当 时，y的最大值是 ，则当 时，y有（    ）

A．最大值，且最大值为 B．最大值，且最大值为

C．最小值，且最小值为 D．最小值，且最小值为

8．关于反比例函数 ，下列说法中错误的是（    ）

A． 时，y随x的增大而减小 B．当 时，

C．它的图象位于第二、四象限 D．当 时，y有最小值为

9．已知反比例函数 ，当 时，y的最大值是4，则当 时，y有（    ）

A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值－1

10．根据学习函数的经验，小颖在平面直角坐标系中画出了函数 的图象，如下图所示，根据图象，小颖得到了该函数四条性质，其中正确的是（    ）

A． 随 的增大而增大 B．当 时，

C．当 时， 有最大值 D．当 与 时，函数值相等

二、填空题

11．反比例函数 的图像与一次函数 的图像相交于 两点，若 两点的横坐标分别为 ，则 的最小值为________________．

12．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____．

13．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝ 上，连接OP，则OP的最小值为_____．

14．已知函数 ，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号）

15．已知直线 与双曲线 相交于点 ， ，则 的最大值是__________．

16．在平面直角坐标系中、反比例函数 的图象与边长是8的正方形 的两边 分别相交于M，N两点，三角形 的面积为 ，若动点P在x轴上，则 的最小值是___________．

17．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数 的图象上运动，且始终保持线段 的长度不变，M为线段 的中点，连接 ，则线段 的长度最小值是___________．

18．已知函数 ， ，当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ，则 的值为______．

三、解答题

19．数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点 ， 两点．请解决以下问题：

(1)填空： ______， ______；

(2)将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；

	…				5	…
	…			3	1	…

3. 观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：______．

①当 时， 随 的增大而减小；

②当 时，此时函数有最大值，最大值为3；

③当 时，自变量 的取值范围为 ；

④直线 与此函数有两个交点，则 ．

20．如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为 ， ， .

(1)若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式；

(2)通过计算判断点 是否在该函数的图像上；

(3)若反比例函数 的图像与 有公共点， 的最小值为，最大值为．

21．在矩形 中， ， 分别以 、 在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 是边 上的一个动点（不与 、 合），过点 的反比例函数 的图像与 边交于点 ．

1. 求证： 与 的面积相等；

2. 记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？

22．如图是反比例函数 的图象，当 时， ．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．

23．已知函数y=x+ （x＞0）的图象如图所示，其中当x=1时，函数取得最小值2，请结合图象，解答以下问题：

(1)当x＞0时，求y的取值范围；

(2)当2≤x≤5时，求y的取值范围．

24．已知：在矩形 中， ．分别以 所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E．

（1）记 ，当S取得最大值时，求k的值；

（2）在（1）的条件下，若直线EF与x轴、y轴分别交于点 ，求 的值．

参考答案

1．B

【分析】根据反比例函数的 ，可知函数图像经过第二、四象限，由此即可求解．

解：反比例函数 中， ，

∴函数图像经过第二、四象限，如图所示，

当 时，看第二象限中的函数图像可知，有最大值，即 ，

故选： ．

【点拨】本题主要考查反比例函数图像，理解并掌握反比例函数的 值大小与图像的特点是解题的关键．

2．B

【分析】由函数经过第二象限，可确定 ，则在 上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为 ，由此可求解．

解：∵当 时，y的最大值是6，

∴反比例函数经过第二象限，

∴ ，

∴在 上，y值随x值的增大而增大，

∴当 时，y有最大值 ，

∵y的最大值是6，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当 时， 有最小值 ，

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定 是解题的关键．

3．A

【分析】根据反比例函数的性质可进行求解．

解：∵k＞1，

∴ ，

∴当2≤x≤4时，函数 随x的增大而减小，函数 随x的增大而增大，

∴当x=2时， 有最大值， 有最小值，

∴ ，

解得： ，

∴ ；

故选A．

【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

4．C

【分析】根据等腰直角三角形性质得出S_△OAB＝ OA•OB＝ OA²，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．

解：∵△AOB是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，

∴S_△OAB＝ OA•OB＝ OA²，

∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，

∵当直线OA为y＝x时，OA最小，

解 得 或 ，

∴此时A的坐标为（ ， ），

∴OA＝2，

∴ ，

∴△OAB面积的最小值为2，

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求得OA取最小值时A的坐标是解题的关键．

5．C

【分析】当直线 经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于 的方程，解方程即可求得 的值．

解：∵根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB的长度取最小值，则直线 经过原点，

∴ ，

解得： ．

故选：C．

【点拨】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线 经过原点时，线段AB的长度取最小值．

6．B

【分析】欲求MN的长的最小值，由双曲线的对称性知ON=OM，可转化为求OM的最小值，列出OM距离的求解式子，求式子的最小值即可．

解：由题意可设点M的坐标为（x，- ），

则OM= = ，

∵ ≥0，

∴ ≥2，由此可得OM的最小值为 ，

由双曲线的对称性可知ON=OM，故MN的最小值为2 ．

故本题答案应为：B．

【点拨】反比例函数的性质是本题的考点，根据题意求出OM的值是解题的关键.

7．B

【分析】根据反比例函数的性质可知当 时， 取得最大值 ，求出 的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可．

解： 反比例函数 ，当 时， 的最大值是 ，

，

在每一个象限内， 随着 增大而减小，

当 时， 取得最大值 ，

此时 ，

当 时， ，

当 时， ，

有最大值 ，

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

8．C

【分析】根据反比例函数 的单调性、所在的象限进行判断即可．

解：A、∵ ，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确，不符合题意；

B、∵ ，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当 时， ，故本选项正确，不符合题意；

C、∵ ，反比例函数 位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意；

D、∵ ，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当 时， ，则y有最小值为 ，故本选项正确，不符合题意；

故选C．

【点拨】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．

9．C

【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在-3≤x≤-1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y=- ，由此可求解．

解：∵当-3≤x≤-1时，y的最大值是4，

∴反比例函数经过第二象限，

∴k＜0，

∴在-3≤x≤-1上，y值随x值的增大而增大，

∴当x=-1时，y有最大值-k，

∵y的最大值是4，

∴-k=4，

∴k=-4，

∴y=- ，

当x≥6时，y=- 有最小值- ，

故选：C．

【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键．

10．B

【分析】A.根据函数图象增减性解题；B.根据函数图象增减性、函数值解题；C.根据函数自变量取值范围解题；D.将 与 分别代入函数中求函数值即可解题．

解：A.观察函数图象，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，故A错误；

B.当 时， ，根据图象增减性，得当 时， ,故B正确；

C.根据函数自变量的取值范围，可得 ，故C错误；

D.当 时， ，当 时， ，两个函数值不相等，故 D错误，

故选：B．

【点拨】本题考查函数的图象、函数值、函数自变量的取值范围、函数的增减性等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

11．

【分析】令 ，即 ，由题意可知， ， ，即可得到 ，即可求得 的最小值为 ．

解：令 ，即 ，

由题意可知， ， ，

，

当 时， 有最小值为 ，

故答案为 ．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数的关系，得到 是解题的关键．

12． ．

【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小．

解：∵四边形OCBA是矩形，

∴AB＝OC，OA＝BC，

∵BD＝3，AD＝6，

∴AB＝9，

设B点的坐标为（9，b），

∴D（6，b），

∵D、E在反比例函数的图象上，

∴6b＝k，

∴E（9， b），

∵S_△ODE＝S_矩形OCBA﹣S_△AOD﹣S_△OCE﹣S_△BDE＝9b﹣ k﹣ k﹣ •3•（b﹣ b）＝15，

∴9b﹣6b﹣ b＝15，

解得：b＝6，

∴D（6，6），E（9，4），

作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，

∵AB＝9，BE′＝6+4＝10，

∴DE′＝ ＝ ，

故答案为 ．

【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．

13．6

【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得 ＝18，根据 ＝ ，且 ≥2ab，可求OP的最小值．

解：设点P（a，b）

∵点P在曲线y＝ 上，

∴ ＝18

∵ ≥0，

∴ ≥2ab，

∵ ＝ ，且 ≥2ab，

∴ ≥2ab＝36，

∴OP最小值为6．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用 ≥2ab是本题的关键．

14．②④

【分析】当 时， ，即可判断①；根据 和 时， 即可判断②；当 时， 随x增大而增大，则 随x增大而减小，由对称性可知当 时， 随x增大而增大，即可判断③；根据 即可判断④．

解：①当 时， ，即函数与y轴的交点为（0，1），故此说法错误；

②∵ ，

∴ 和 时， ，

∴函数图像关于y轴对称，故此说法正确；

③∵当 时， 随x增大而增大，

∴ 随x增大而减小，

∵函数图像关于y轴对称，

∴当 时， 随x增大而增大，如下图函数图象所示，故③错误；

④∵ ，

∴ ，

∴函数有最大值1，故此说法正确；

故答案为：②④．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．

15．1

【分析】由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解．

解：由直线 与双曲线 相交于点 可得： ，

∴ ，

∵

∴当 时， 有最大值，最大值为1；

故答案为1．

【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．

16．

【分析】由正方形 的边长是8，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到 ，作M关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于P，则 的长等于 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解：∵正方形 的边长是8，

∴点M的横坐标和点N的纵坐标为8，

∵ ， 的面积为 ，

∴ ，

∴ （负值舍去）

∴ ，

作M关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于P，则 的长等于 的最小值，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

根据勾股定理求得 ．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键．

17．

【分析】如图，当 时，线段 长度的最小．首先证明点A与点B关于直线 对称，因为点A，B在反比例函数 的图象上， ，所以可以假设 ，则 ，则 ，整理得 ，推出 ， ，可得 ，求出 即可解决问题．

解：如图，因为反比例函数关于直线 对称，观察图象可知：当线段 与直线 垂直时，垂足为M，此时 ， 的值最小，

∵M为线段 的中点，

∴ ，

∵点A，B在反比例函数 的图象上，

∴点A与点B关于直线 对称，

∵ ，

∴设 ，则 ，

∴ ，

整理得 ，

解得： （负值舍去），

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴线段 的最小值为 ．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断 取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键．

18．2

【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y₁的最大值为 =a，当x=2时，y₂的最小值为− =a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案．

解：∵k>0，2≤x≤3，

∴y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大．

∴当x=2时，y₁的最大值为 =a，

当x=2时，y₂的最小值为− =a−4．

∴−a=a−4，解得a=2．

故答案为：2．

【点拨】此题考查反比例函数y= 的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．

19．(1) ， ；(2)见分析；(3)②③

【分析】（1）将 代入 可得a的值，将 代入 可得b的值；

（2）将x的值代入对应的解析式，求出y值，再描点连线即可画出函数图象；

（3）根据（2）中所画图象逐项判断即可．

解：（1）解：将 代入 ，可得 ，解得 ；

将 代入 ，可得 ，解得 ；

故答案为： ， ．

（2）解：由（1）知 ，

当 时， ，

当 时， ，

补全后的表格如下：

	…				5	…
	…	1		3	1	…

函数图象如下：

（3）解：由图可知，当 时， 随 的增大而增大，故①错误；

当 时，此时函数有最大值，最大值为3，故②正确；

当 时，自变量 的取值范围为 ，故③正确；

直线 与此函数有两个交点时，则 ，故④错误；

综上可知，正确的有②③，

故答案为：②③．

【点拨】本题考查分段函数，涉及一次函数、反比例函数、描点法画函数图象等知识点，解题的关键是画出函数图象，利用图象解决问题．

20．(1)反比例函数的解析式为 ；(2)点 在函数 的图像上；(3) ，

【分析】（1）根据顶点B的坐标为 ， ， 得出点 、 的坐标分别为 、 ，将点 代入反比例函数解析式，即可求解；

（2）将当 时， ，得出点 在函数 的图像上；

（3）根据反比例函数图像的性质，当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，分别待定系数法求反比例函数解析式即可求解．

解：（1）∵两条直角边 、 分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为 ， ， .

∴点 、 的坐标分别为 、 ，

∵ （ ）的图像经过点 ，

∴ .

∴反比例函数的解析式为 ，

（2）∵点 ，当 时， ，

∴点 在函数 的图像上；

（3）∵当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，

∴当反比例函数的图像经过点 时， ，解得 ；

当经过点B时， ，解得 ，

∴ 的最小值为 ，最大值为

故答案为： ， ．

【点拨】本题考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

21．(1)证明过程见详解；(2)当 时， 有最大面积，最大面积为

【分析】（1）设 ， ，根据点 ， 在反比例函数图像上，则可求出 ， ，且 ， ，由此即可求证；

（2）确定 ， ， ， ，将 转化为含有 的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解．

解：（1）证明：设 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，

∵ ， 都在反比例函数 的图像上，

∴ ， ，则 ， ，

∴ ， ，

∴ ．

（2）解：根据题意可知， ， ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，即 ，

∴当 时， 有最大面积，最大面积为 ．

【点拨】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键．

22．（1）反比例函数的解析式为 ；（2）线段MN的最小值为 ．

【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；

（2）经观察后可发现当MN为直线 与双曲线的两个交点时，线段MN最短；联立两方程可求得两交点的坐标 ， ，然后根据两点之间的距离公式求得线段MN的最小值．

解： 在反比例函数的图象中，当 时， ，

反比例函数经过坐标 ，

，

，

反比例函数的解析式为 ；

当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．

将 代入 ，

解得 或 ，

即 ， ．

．

则 ．

线段MN的最小值为 ．

【点拨】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第 问中关键是要正确判断MN何时出现最小值．

23．（1）当x＞0时，y≥2；（2） ≤y≤

【分析】（1）由题意可知当x=1时，y有最小值2，则可知在第一象限内y的取值范围；

（2）当x＞1时，y随x的增大而增大，则可求得y取值范围．

解：(1)由图象可知当x＞0时，函数最小值为2，

∵当x=1时y有最小值2，

∴当x＞0时，y≥2；

(2)由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴当2≤x≤5时，当x=2时，y有最小值，y=2+ = ，

当x=5时，y有最大值，y=5+ = ，

∴当2≤x≤5时，求y的取值范围为 ≤y≤ ．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，求得当x＞1时y随x的增大而增大是解题的关键．

24．（1）6；（2）25

【分析】（1）由条件可分别表示出E、F的坐标，用k可表示出S，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k的值；

（2）求得E、F的坐标，即可求得EC＝2，CF＝ ，根据勾股定求得EF＝ ，设∠CEF＝ ，即可求得sin ＝ ，cos ＝ ，进而解直角三角形求得EM＝ ，FN＝ ，从而求得EM•FN的值．

解：（1）∵OB＝4，OA＝3，且E、F为反比例函数图象上的两点，

∴E，F两点坐标分别为E（ ，3），F（4， ），

如图，连接OE、OF，

∴S_△ECF＝ (4− )（3− ），

∴S_△EOF＝S_矩形AOBC−S_△AOE−S_△BOF−S_△ECF＝3×4− × ×3− ×4× −S_△ECF，

∴S_△EOF＝12−k−S_△ECF，

∴S＝S_△OEF−S_△ECF＝12−k−2S_△ECF＝12−k−2× (4− )（3− ），

∴S＝− k²＋k．

当k＝ 时，S有最大值，

即S取得最大值时k＝6．

（2）∵k＝6，

∴E（2，3），F（4， ），

∴EC＝2，FC＝ ，EF＝ ，

设∠CEF＝ ，则sin ＝ ，cos ＝ ，

∴EM•FN＝ ．

【点拨】本题主要考查反比例函数k的意义及二次函数的性质，解直角三角形等，掌握反比例函数图象上点的坐标满足k＝xy是解题的关键．