【330460】初中数学人教八下第十八章卷（3）

第十八章卷（3）

一、选择题

1．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（　　）

A．36° B．108° C．72° D．60°

2．如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（　　）

A．9 B．6 C．3 D．

3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补

4．四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（　　）

A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180° C．∠B+∠A=180° D．∠A+∠D=180°

5．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．对角线相等的四边形

6．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（　　）

A．12cm² B．24cm² C．48cm² D．96cm²

7．矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm，则矩形的周长为（　　）

A．16cm B．22cm或26cm C．26cm D．以上都不对

8．如图，已知E，F分别为平行四边形ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积相等的三角形有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

9．在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是　 　．（写出一种即可）

10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm²．

11．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=　 　．

12．已知平行四边形ABCD两条对角线的交点坐标是坐标系的原点，点A，B的坐标分别为（﹣1，﹣5），（﹣1，2），则C，D的坐标分别是　 　，　 　．

13．已知平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，若AB=6，AC=8，则BD的取值范围是　 　．

三、解答题

14．如图，已知平行四边形ABCD，用图①，②的两种方法可以将ABCD分成面积相等的四部分．你还能用其他不同的方法（不包括如图①，②的两种方法），将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分吗？请画出对应的示意图．

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD，

求证：BE=AB．

16．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

(1)求证：△ABF≌△ECF；

(2)若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

17．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

18．已知：如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边延长线上一点，CE=CF．

(1)观察猜想BE和DF的大小关系，并证明你的猜想；

(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．

答案

1．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（　　）

A．36° B．108° C．72° D．60°

【考点】平行四边形的性质．

【专题】选择题．

【分析】利用平行四边形的内角和是360度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，则∠D的值可求出．

【解答】解：在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，

设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x=360°，

解得x=36°

则∠D=108°．

故选B．

【点评】题考查四边形的内角和定理及平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补．

2．如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（　　）

A．9 B．6 C．3 D．

【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质．

【专题】选择题．

【分析】等边三角形的边长为3，根据三角形的中位线定理可求出中点三角形的边长，所以中点三角形的周长可求解．

【解答】解：连接各边中点所成的线段是等边三角形的中位线，每条中位线的长是 ，故新成的三角形的周长为 ×3= ．

故选D．

【点评】本题利用了等边三角形的性质和中位线的性质，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 ．

3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补

【考点】矩形的性质；菱形的性质．

【专题】选择题．

【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．

【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；

B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；

C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；

D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；

故选A．

【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．

4．四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（　　）

A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180° C．∠B+∠A=180° D．∠A+∠D=180°

【考点】平行四边形的判定．

【专题】选择题．

【分析】四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可，只有D选项符合．

【解答】解：A、如图1，∵AD∥CB，

∴∠A+∠B=180°，

如果∠A+∠C=180°，

则可得：∠B=∠C，

这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；

B、如图1，∵AD∥CB，

∴∠A+∠B=180°，

如果∠B+∠D=180°，

则可得：∠A=∠D，

这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；

C、如图1，∵AD∥CB，

∴∠A+∠B=180°，

再加上条件∠A+∠B=180°，

也证不出是四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；

D、如图2，

∵∠A+∠D=180°，

∴AB∥CD，

∵AD∥CB，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；

故选D．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，判定方法共有五种：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等；则四边形是平行四边形．

5．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．对角线相等的四边形

【考点】三角形中位线定理；菱形的判定．

【专题】选择题．

【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．

【解答】解：如图，

∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，

∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，

∴EH∥FG，EF=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

假设AC=BD，

∵EH= AC，EF= BD，

则EF=EH，

∴平行四边形EFGH是菱形，

即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，

故选D．

【点评】本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．

6．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（　　）

A．12cm² B．24cm² C．48cm² D．96cm²

【考点】菱形的性质．

【专题】选择题．

【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．

【解答】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，

已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，

根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，

即可知（4x）²+（3x）²=25，

解得x=1，

故菱形的对角线分别为8cm和6cm，

所以菱形的面积= ×8×6=24cm²，

故选B．

【点评】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．

7．矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和5cm，则矩形的周长为（　　）

A．16cm B．22cm或26cm C．26cm D．以上都不对

【考点】矩形的性质．

【专题】选择题．

【分析】利用角平分线得到∠ABE=∠CBE，矩形对边平行得到∠AEB=∠CBE．那么可得到∠ABE=∠AEB，可得到AB=AE．那么根据AE的不同情况得到矩形各边长，进而求得周长．

【解答】解：如图

∵矩形ABCD中BE是角平分线．

∴∠ABE=∠EBC．

∵AD∥BC．

∴∠AEB=∠EBC．

∴∠AEB=∠ABE．

∴AB=AE．

平分线把矩形的一边分成3cm和5cm．

当AE=3cm时：则AB=CD=3cm，AD=CB=8cm则矩形的周长是：22cm；

当AE=5cm时：AB=CD=5cm，AD=CB=8cm，则周长是：26cm．

故选B．

【点评】本题主要运用了矩形性质和等角对等边知识，正确地进行分情况讨论是解题的关键．

8．如图，已知E，F分别为平行四边形ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积相等的三角形有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．

【专题】选择题．

【分析】与△BEC的面积相等的三角形就是与△BEC等底同高的三角形，根据平行四边形的性质，图中与与△BEC等底同高的三角形有：△BCD，△ADB，又S_△DCB=S_△DFC，可以得到S_△DFC=S_△BEC，由此可以得到图形中与△BEC的面积相等的三角形的个数．

【解答】解：如图，∵AD∥CB，∴△BEC与△BD等底同高，

∴它们面积相等，

又根据平行四边形的性质得△BCD≌△BAD，

∴图中与与△BEC等底同高的三角形有：△BCD，△ADB，

又∵AB∥CD，

∴S_△DCB=S_△DFC，

∴S_△DFC=S_△BEC，

则图形中与△BEC的面积相等的三角形有3个．

故选B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质确定面积相等的三角形的底和高是解决本题的关键．

9．在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是　 　．（写出一种即可）

【考点】矩形的判定．

【专题】填空题．

【分析】已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．

【解答】解：若四边形ABCD的对角线相等，

则由AB=DC，AD=BC可得．

△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，

所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，

所以四边形ABCD是矩形，

故答案为：对角线相等．

【点评】此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是要得到四个内角相等即直角．

10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm²．

【考点】正方形的性质．

【专题】填空题．

【分析】正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．

【解答】解：依题意有S_阴影= ×4×4=8cm²．

故答案为：8．

【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

11．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=　 　．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【专题】填空题．

【分析】根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．

【解答】解：∵四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，

∴∠2=∠3，

∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，

∴∠2=∠3= （180°﹣50°）= ×130°=65°，

又∵AD∥BC，

∴∠AEF+∠EFB=180°，

∴∠AEF=180°﹣65°=115°．

【点评】解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答．

12．已知平行四边形ABCD两条对角线的交点坐标是坐标系的原点，点A，B的坐标分别为（﹣1，﹣5），（﹣1，2），则C，D的坐标分别是　 　，　 　．

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．

【专题】填空题．

【分析】已知平行四边形ABCD两条对角线的交点坐标是坐标系的原点，平行四边形ABCD两条对角线相互平分，所以点A与点C、点B与点D关于原点对称，由于已知点A，B的坐标，故可求得C，D的坐标．

【解答】解：由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，

∵点A，B的坐标分别为（﹣1，﹣5），（﹣1，2），

∴C，D的坐标分别是（1，5）（1，﹣2）．

故本题答案为：（1，5）（1，﹣2）

【点评】本题考查平行四边形的性质与点的坐标的表示、关于原点对称的点的特征，已知点（a，b），则其关于原点对称的点的坐标为（﹣a，﹣b）．

13．已知平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，若AB=6，AC=8，则BD的取值范围是　 　．

【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．

【专题】填空题．

【分析】首先要作辅助线，利用平行四边形的性质得CE=BD，BE=CD=AB=6，再利用三角形，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求得．

【解答】解：如图，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴四边形BECD是平行四边形，

∴CE=BD，BE=CD=AB=6，

∴在△ACE中，AE=2AB=12，AC=8，

AE﹣AC＜CE＜AE+AC，

即12﹣8＜BD＜12+8，

∴4＜BD＜20．

故答案为：4＜BD＜20．

【点评】本题通过作辅助线，把AC，AB，BD转化到同一个三角形中，利用平行四边形的性质和三角形中三边关系求解．

14．如图，已知平行四边形ABCD，用图①，②的两种方法可以将ABCD分成面积相等的四部分．你还能用其他不同的方法（不包括如图①，②的两种方法），将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分吗？请画出对应的示意图．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】解答题．

【分析】因为平行四边形是中心对称图形，利用其中心，将两条对角线任意旋转一定的角度即可解决问题．

【解答】解：

【点评】本题需利用平行四边形的中心对称性解决问题．

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD，

求证：BE=AB．

【考点】平行四边形的判定与性质．

【专题】解答题．

【分析】可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形BECD是平行四边形．

【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，即BE∥CD，

又∵EC∥BD，

∴四边形BECD是平行四边形．

∴BE=CD．

∴BE=AB．

【点评】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

16．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

(1)求证：△ABF≌△ECF；

(2)若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．

【专题】解答题．

【分析】(1)先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，⇒∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；

(2)由(1)得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．

【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴∠ABF=∠ECF，

∵EC=DC，∴AB=EC，

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴△ABF≌△ECF（AAS）．

(2)∵AB=EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴FA=FE，FB=FC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠AFC=2∠D，

∴∠AFC=2∠ABC，

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC=∠BAF，

∴FA=FB，

∴FA=FE=FB=FC，

∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形．

【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．

17．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

【考点】菱形的判定．

【专题】解答题．

【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

【解答】证明：方法一：∵AE∥FC．

∴∠EAC=∠FCA．

∵在△AOE与△COF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴EO=FO，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形；

方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．

∴AE=CF．

∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴四边形AFCE是菱形；

【点评】本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

18．已知：如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边延长线上一点，CE=CF．

(1)观察猜想BE和DF的大小关系，并证明你的猜想；

(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题．

【分析】(1)可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等；

(2)由(1)中的全等可得∠DFC=∠BEC=60°，易得∠CFE=45°，相减即可得到所求角的度数．

【解答】解：(1)BE=DF．理由如下：

如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，

又∵CE=CF，

∴△BCE≌△DCF，

∴BE=DF；

(2)∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，

∴∠DFC=∠BEC=60°，

∵∠DCF=90°，CE=CF，

∴∠CFE=45°，

∴∠EFD=∠DFC﹣∠CFE=15°．

【点评】 综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．用到的知识点为：考查两条线段的大小关系，一般考虑相等，证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法．