【330459】初中数学人教八下第十八章卷（2）

第十八章卷（2）

一、选择题

1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形

2．下列命题中正确的是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

3．如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆得总长度是（　　）

A．40 m B．30 m C．20 m D．10 m

4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（　　）

A．30 B．15 C． D．60

5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定

6．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（　　）

A．1.5 B．3 C．6 D．9

7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（　　）

A． B． C． D．

8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（　　）

A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②⑤⑥

二、填空题

9．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=　 　度．

10．如图，点E、F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件　 　．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．

11．如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．

(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是　 　，根据的数学道理是　 　．

(3)将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是　 　，根据的数学道理是　 　．

12．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分（即多边形BCPFEB）的面积为　 　．

13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是　 　．（只填一个条件即可，答案不唯一）

14．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为　 　度．

15．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为　　 cm²．

三、解答题

16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD=10cm，∠B=45度，∠C=30度，AD=5cm． 求：(1)AB的长；(2)梯形ABCD的面积．

17．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．

求：(1)两条对角线的长度；

(2)菱形的面积．

18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．

19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．

(1)AD与BC有何等量关系，请说明理由；

(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．

20．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．

答案

1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形

【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．

【专题】选择题．

【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．

【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB²=BO²+AO²，AD²=DO²+AO²，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；

综上所述，符合题意是D选项；

故选D．

【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．

2．下列命题中正确的是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【考点】菱形的判定．

【专题】选择题．

【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

【解答】解：根据菱形的判定，知对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

A、B、C错误，D正确．

故选D．

【点评】本题考查菱形的判定方法．

3．如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆得总长度是（　　）

A．40 m B．30 m C．20 m D．10 m

【考点】三角形中位线定理．

【专题】选择题．

【分析】 据等腰梯形的性质和三角形的中位线定理有EF=GH= AC，EH=GF= BD，可知四边形EFGH的周长=4EF=2AC，进而可得出四边形EFGH的周长，即需篱笆得总长．

【解答】解：如图，连接BD，

∵E、F、G、H是等腰梯形ABCD各边中点，

∴EF=GH= AC，EH=GF= BD，

∵等腰梯形ABCD，

∴BD=AC，

∴四边形EFGH的周长=4EF=2AC=20m．

故选C．

【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质和三角形中位线定理，得出四边形EFGH的周长与AC的关系是解题的关键，难度一般．

4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（　　）

A．30 B．15 C． D．60

【考点】根据边的关系判定平行四边形．

【专题】选择题．

【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式，得该梯形的面积是10×6÷2=30．

【解答】解：如图，作DE∥AC交BC延长线于E

∵AD∥BC

∴四边形ADEC为平行四边形

∴CE=AD，∠CDE=∠DCA

∵AC⊥BD，

∴AC⊥DE，

∴△BDE为直角三角形，

∴S_梯ABCD=S_△EBD，

∴S_梯ABCD= DE•BD= AC•BD=10×6÷2=30，

故选A．

【点评】根据三角形的面积公式可以导出：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．

5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定

【考点】三角形中位线定理．

【专题】选择题．

【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．

【解答】解：连接AR．

因为E、F分别是AP、RP的中点，

则EF为△APR的中位线，

所以EF= AR，为定值．

所以线段EF的长不改变．

故选C．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．

6．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（　　）

A．1.5 B．3 C．6 D．9

【考点】根据边的关系判定平行四边形．

【专题】选择题．

【分析】作梯形的另一高，则得一个矩形和一个30°的直角三角形，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得另一腰是已知腰的 ，即是3．

【解答】解：作DE⊥BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴AB=DE，

又∠C=30°，

∴DE= DC=3．

故选B．

【点评】注意：直角梯形中常见的辅助线即作另一高．熟练运用30°的直角三角形的性质．

7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（　　）

A． B． C． D．

【考点】正方形的性质．

【专题】选择题．

【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．

【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．

故选D．

【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．

8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（　　）

A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②⑤⑥

【考点】菱形的判定；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定．

【专题】选择题．

【分析】根据菱形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断．

【解答】解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不能拼成菱形和正方形；

由于等腰梯形有两边不等，故也不能．

矩形，平行四边形，等腰三角形可以拼成．如图：

故选B．

【点评】本题考查了三角形的拼接图形的特点．以及特殊四边形的性质．

9．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=　 　度．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】填空题．

【分析】由DB=DC，∠C=70°可以得到∠DBC=∠C=70°，又由AD∥BC推出∠ADB=∠DBC=∠C=70°，而∠AED=90°，由此可以求出∠DAE．

【解答】解：∵DB=DC，∠C=70°，

∴∠DBC=∠C=70°，

∵AD∥BC，AE⊥BD，

∴∠ADB=∠DBC=∠C=70°，∠AED=90°，

∴∠DAE=90﹣70=20°．

故答案为：20°．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．

平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；

②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；

④平行四边形的对角线互相平分．

10．如图，点E、F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件　 　．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．

【考点】平行四边形的判定与性质．

【专题】填空题．

【分析】使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DF=BE．

【解答】解：需要添加的条件可以是：DF=BE．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，BC=AD，

∴∠CBE=∠ADF，

在△ADF与△BCE中，

，

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴CE=AF，同理，△ABE≌△CDF，

∴CF=AE，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定方法，此题属于开放题熟练掌握各判定定理是解题的关键．

11．如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．

(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是　 　，根据的数学道理是　 　．

(3)将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是　 　，根据的数学道理是　 　．

【考点】平行四边形的判定；矩形的判定．

【专题】填空题．

【分析】此题主要考查平行四边形，矩形的判定问题，掌握其判定定理，即可作答．

【解答】解：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

矩形；由一个角是直角的平行四边形是矩形．

【点评】熟练掌握平行四边形及矩形的判定．

12．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分（即多边形BCPFEB）的面积为　 　．

【考点】菱形的性质．

【专题】填空题．

【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，求出△ABC的面积，求出△AEF的面积和△PEF的面积相等，得出阴影部分的面积等于三角形ABC的面积，即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BO=OD= BD=2.5，

∴△ABC的面积是 ×AC×BO=2.5，

∵AD∥BC，AB∥DC，

又∵PE∥BC，PF∥CD，

∴PF∥AB，PE∥AD，

∴四边形AEPF是平行四边形，

∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，

∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5．

故答案为：2.5．

【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的应用．

13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是　 　．（只填一个条件即可，答案不唯一）

【考点】正方形的判定；菱形的性质．

【专题】填空题．

【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．

【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角(2)对角线相等．

即∠BAD=90°或AC=BD．

故答案为：∠BAD=90°或AC=BD．

【点评】本题比较容易，考查特殊四边形的判定．

14．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为　 　度．

【考点】根据边的关系判定平行四边形．

【专题】填空题．

【分析】先作图，过点D作DE∥AB，四边形ABED是平行四边形，根据题意得CE=12cm，△CDE是等腰三角形，从而得出DF=CF=6cm，则锐角底角为45°．

【解答】解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，

∵AB=CD，∴DE=CD，

∴△CDE是等腰三角形，又DF⊥CE，

∴EF=CF= CE= （BC﹣AD）=6cm，

∵高DF=6cm，

∴DF=CF=6cm，

而∠DFC=90°，∴∠DCF=45°．

【点评】本题考查了梯形中辅助线的作法：平移一腰得出两底之差，还考查了等腰三角形的性质．

15．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为　　 cm²．

【考点】矩形的性质．

【专题】填空题．

【分析】根据矩形的性质，画出图形求解．

【解答】解：∵ABCD为矩形

∴OA=OC=OB=OD

∵一个角是60°

∴BC=OB= cm

∴根据勾股定理 = =

∴面积=BC•CD=4× = cm²．

故答案为 ．

【点评】本题考查的知识点有：矩形的性质、勾股定理．

16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD=10cm，∠B=45度，∠C=30度，AD=5cm． 求：(1)AB的长；(2)梯形ABCD的面积．

【考点】矩形的判定定理2．

【专题】解答题．

【分析】(1)过点D作DE⊥BC于E，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE= CD，再判断△ABH是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的 倍解答；

(2)先判定四边形AHED是矩形，根据矩形对边相等求出HE=AD，再求出BC的长，然后根据梯形的面积公式列式进行计算即可得解．

【解答】解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于E，

∵∠C=30°，CD=10cm，

∴DE= CD= ×10=5cm，

过A作AH⊥BC于H，则AH=DE=5cm，

∵∠B=45°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∴AB= AH=5 cm；

(2)∵AH、DE都是梯形的高线，

∴四边形AHED是矩形，

∴HE=AD=5cm，

又∵BH=AH=5cm，CE= = =5 cm，

∴BC=BH+HE+CE=5+5+5 =（10+5 ）cm，

∴梯形ABCD的面积= （5+10+5 ）×5 =（ + ）cm．

【点评】本题考查了梯形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

17．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．

求：(1)两条对角线的长度；

(2)菱形的面积．

【考点】菱形的性质．

【专题】解答题．

【分析】在菱形ABCD中，∠A与∠B互补，即∠A+∠B=180°，因为∠A与∠B的度数比为1：2，就可求出∠A=60°，∠B=120°，根据菱形的性质得到∠BDA=120°× =60°，则△ABD是正三角形，所以BD=AB=48× =12cm，根据勾股定理得到AC的值；然后根据菱形的面积公式求解．

【解答】解：(1)连接BD，

∵∠A与∠B互补，即∠A+∠B=180°，∠A与∠B的度数比为1：2，

∴∠A=60°，∠B=120°．

∴∠BDA=120°× =60°．

∴△ABD是正三角形．

∴BD=AB=48× =12cm．

AC=2× =12 cm．

∴BD=12cm，AC=12 cm．

(2)S_菱形ABCD= ×两条对角线的乘积= ×12×12 =72 cm²

【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．

18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】解答题．

【分析】由平行四边形的性质得AD=CB，∠DAE=∠BCF，再由已知条件，可得△ADE≌△CBF，进而得出结论．

【解答】证明：在平行四边形ABCD中，则AD=CB，∠DAE=∠BCF，

又AE=CF，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴DE=BF．

【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定问题，应熟练掌握．

19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．

(1)AD与BC有何等量关系，请说明理由；

(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．

【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．

【专题】解答题．

【分析】(1)由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD= BC的结论．

(2)根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明AF=DE即可得出结论．

【解答】(1)解：AD= BC．

理由如下：

∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，

∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．

∴AD=BE，AD=FC，

又∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD=EF．

∴AD=BE=EF=FC．

∴AD= BC．

(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，

∴DE=AB，AF=DC．

∵AB=DC，

∴DE=AF．

又∵四边形AEFD是平行四边形，

∴平行四边形AEFD是矩形．

【点评】本题考查了梯形、平行四边形的性质和矩形的判定，是一道集众多四边形于一体的小综合题，难度中等稍偏上的考题．有的学生往往因为基础知识不扎实，做到一半就做不下去了，建议老师平时教学中，重视一题多变，适当地变式联系，可以触类旁通．

20．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．

【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质．

【专题】解答题．

【分析】根据中垂线的性质中垂线上的点线段两个端点的距离相等可得出AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，结合OD=OE，OA=OC，∠AOD=90°可证得为菱形．

【解答】四边形ADCE是菱形．

证明：∵MN是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∴△ADO≌△CEO．（ASA）

∴AD=CE，OD=OE，

∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形

又∵∠AOD=90°，∴▱ADCE是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定及线段垂直平分线的性质，利用了：中垂线的性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形和菱形的判定．