【330178】19.3.1 第2课时 矩形的判定

19.3.1矩形

第2课时 矩形的判定

教学目标

1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)

2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)

教学过程

一、情境导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！

二、合作探究

探究点一：矩形的判定

【类型一】 对角线相等的平行四边形是矩形

如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．

解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.

∵AM＝BP＝CN＝DQ，

∴OM＝OP＝ON＝OQ.

∴四边形MPNQ是平行四边形．

又∵OM＋ON＝OQ＋OP，

∴MN＝PQ.

∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．

【类型二】 有三个角是直角的四边形是矩形

如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线．求证：四边形ADBC是矩形．

解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．

证明：∵GE∥HF，

∴∠GAB＋∠ABH＝180°.

∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，

∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH，

∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°，

∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.

同理可得∠ACB＝90°.

又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，

∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA，

∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°.

∴四边形ADBC是矩形．

方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．

【类型三】 有一个角是直角的平行四边形是矩形

如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.

(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.

解：(1)BD＝CD.理由如下：

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE.

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE.

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(AAS)．

∴AF＝CD.

∵AF＝BD，

∴BD＝DC；

(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴∠ADB＝90°.

∴四边形AFBD是矩形．

方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键．

探究点二：矩形的性质和判定的综合运用

如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；

(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4cm，∴S_矩形ABCD＝4×4＝16(cm²)．

方法总结：首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．

三、板书设计

教学反思

通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.