【330078】17.5 一元二次方程的应用

17.5 一元二次方程的应用

教学目标

1．会列一元二次方程解实际问题；(重点、难点)

2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．

教学过程

一、情境导入

某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的应用

【类型一】 增长(降低)率问题

某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率．

解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.

根据题意，得60(1－10%)(1＋x)²＝121.5，则(1＋x)²＝2.25，

解得x₁＝0.5，x₂＝－2.5(不合题意，舍去)．

答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.　

　方法总结：解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)².由此列出方程a(1±x)²＝b，求出所需要的量．

【类型二】 商品销售问题

某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？

解：设每件商品涨价x元，根据题意，得

(50＋x－40)(500－10x)＝8000，即x²－40x＋300＝0.解得x₁＝10，x₂＝30.

经检验，x₁＝10，x₂＝30都是原方程的解．

当x＝10时，售价为10＋50＝60(元)，销售量为500－10×10＝400(件)；

当x＝30时，售价为30＋50＝80(元)，销售量为500－10×30＝200(件)．

∵要尽量减少库存，∴取x＝10，此时售价应为60元．

答：售价应为60元．

易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据．

【类型三】 几何问题

要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．

解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．

根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，

解得x₁＝10，x₂＝30.

检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，不符合题意，所以x₂＝30舍去，故x＝10.

答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．

易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．

探究点二：可化为一元二次方程的分式方程

为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出“超额高费措施”，即每户每月定额用水不超过12m³，超过12m³的部分，另加收每立方米2元的高额排污费．

(1)某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m³，这使得260m³的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？

(2)如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？

解析：(1)本题的等量关系有两个：计划月平均用水量＋3＝原月平均用水量；计划用水时间－原用水时间＝6；(2)该户一年需交水费＝超计划用水费用＋计划用水费用．

解：(1)这户居民计划平均每月用水xm³.由题意，得－＝6.去分母，化简得x²＋3x－130＝0，解得x₁＝10，x₂＝－13.经检验，x₁，x₂都是原方程的根，但x＝－13不合实际，舍去，取x＝10.

答：这户居民计划平均每月用水10m³；

(2)该户居民有四个月的月平均用水量为10(1＋40%)＝14(m³)，需交水费[14×2.1＋(14－12)×2]×4＝133.6(元)，其余八个月需交水费10×2.1×8＝168(元)．∴该户居民一年需交水费为133.6＋168＝301.6(元)．

答：该户居民一年需交水费301.6元．

方法总结：列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步，一是检验所得未知数的值是不是原方程的根，二是检验所得未知数的值是否使实际问题有意义．

三、板书设计

教学反思

经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣.