【330077】17.4 一元二次方程的根与系数的关系

17.4一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)

2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)

教学过程

一、情境导入

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

(1)x²－2x＝0； (2)x²＋3x－4＝0；

(3)x²－5x＋6＝0.

探究点一：一元二次方程的根与系数的关系

利用根与系数的关系，求方程3x²＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．

解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．

解：这里a＝3，b＝6，c＝－1.

Δ＝b²－4ac＝6²－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

设方程的两个实数根是x₁，x₂，

那么x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝－.

方法总结：如果方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ＝b²－4ac≥0，有两个实数根x₁，x₂，那么x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用

【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值

设x₁，x₂是方程2x²＋4x－3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x₁＋2)(x₂＋2)；　　(2)＋.

解析：先确定a，b，c的值，再求出x₁＋x₂与x₁x₂的值，最后将所求式子做适当变形，把x₁＋x₂与x₁x₂的值整体代入求解即可．

解：根据根与系数的关系，得x₁＋x₂＝－2，x₁x₂＝－.

(1)(x₁＋2)(x₂＋2)＝x₁x₂＋2(x₁＋x₂)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－；

(2)＋＝＝＝＝－.

方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x₁＋x₂与x₁x₂的值，最后将所求式子做适当的变形，把x₁＋x₂与x₁x₂的值整体带入求解即可．

【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根

已知方程5x²＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．

解析：由方程5x²＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．

解：设方程的另一个根是x₁，则2x₁＝－，

∴x₁＝－.又∵x₁＋2＝－，

∴－＋2＝－，∴k＝－7.

方法总结：对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0，b²－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．

【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用

已知α、β是关于x的一元二次方程x²＋(2m＋3)x＋m²＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值．

解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由＋＝－1建立方程，求m的值．

解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，

∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m².

又∵＋＝＝＝－1，

化简整理，得m²－2m－3＝0.

解得m＝3或m＝－1.

当m＝－1时，方程为x²＋x＋1＝0，

此时Δ＝1²－4＜0，方程无解，

∴m＝－1应舍去．

当m＝3时，方程为x²＋9x＋9＝0，

此时Δ＝9²－4×9＞0，

方程有两个不相等的实数根．

综上所述，m＝3.

易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．

三、板书设计

教学反思

让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.