【329952】12.3角的平分线的性质

12.3角的平分线的性质

基础巩固

1．作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　)

①作射线OC；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；③分别以D，E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C.

A．①②③ B．②①③

C．②③① D．③②①

2．三角形中到三边距离相等的点是(　　)

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条高的交点

C．三条中线的交点

D．三条内角平分线的交点

3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是(　　)

A．PD＝PE

B．OD＝OE

C．∠DPO＝∠EPO

D．PD＝OD

4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于(　　)

A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm

5．△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为(　　)

A．2 cm,2 cm,2 cm

B．3 cm,3 cm,3 cm

C．4 cm,4 cm,4 cm

D．2 cm,3 cm,5 cm

6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DCO＝__________.

7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为__________．

8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为__________．

能力提升

9．如图，BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角．求证：PD＝PE.

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.

(1)求证：CF＝EB；

(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．

11．八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图)．设计了如下方案：

①∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

②∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

(1)方案①、方案②是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．

(2)在方案①PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．

参考答案

2．D　点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以到三角形三边距离相等的是三条内角平分线的交点．

3．D　点拨：由角平分线的性质得，PE＝PD，进而可证△PEO≌△PDO，得OE＝OD，∠DPO＝∠EPO，但PD＝OD是错误的．

4．B　点拨： 因为BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，所以DE＝EC，那么AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝3 cm.

5．B　点拨：因为点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，所以设点O到三边AB，AC，BC的距离为x cm，由三角形的面积公式得， ，解得x＝2(cm)．

6．60°　点拨：因为CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，所以OC为∠AOB的平分线，所以∠AOC＝30°，所以∠DCO＝60°.

7．14　点拨：设BD＝9x，CD＝7x，所以9x＋7x＝32，解得x＝2，所以BD＝18，CD＝14.AD平分∠BAC交BC于D，则D到AB的距离等于CD＝14.

8．120°　点拨：点O到三边的距离相等，所以点O是三个内角的平分线的交点，又因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°， ，

所以∠BOC＝180°－60°＝120°.

9．证明：过点P分别作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，因为BN是∠ABC的平分线，所以PF＝PG.

又因为∠BDP＋∠BEP＝180°，∠PEG＋∠BEP＝180°，

所以∠BDP＝∠PEG.在△PFD和△PGE中，

∴△PFD≌△PGE(AAS)，

∴PD＝PE.

10．(1)证明：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∠DEB＝∠C＝90°，

在Rt△DCF与Rt△DEB中，

∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，

∴CF＝EB.

(2)解：AE＝AF＋BE.

理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，

又∵∠C＝∠DEA＝90°，

∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE，

由(1)知BE＝CF，

∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE，即AE＝AF＋BE.

11．(1)方案①不可行．缺少证明三角形全等的条件．

方案②可行．

证明：在△OPM和△OPN中，

∴△OPM≌△OPN(SSS)．

∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形对应角相等)．

(2)解：当∠AOB是直角时，此方案可行．

∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，

∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，

∴∠AOB＝90°，

∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN，

∴OP为∠AOB的平分线．(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)，当∠AOB不为直角时，此方案不可行．