【330009】15.2 线段的垂直平分线

课后训练

1．(如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)．

(第1题图)

A．6　　 　 B．5　　 　C．4　　 　D．3

2．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上的任意两点，则∠CAD与∠CBD之间的关系是(　　)．

A．∠CAD＞∠CBD B．∠CAD＝∠CBD C．∠CAD＜∠CBD D．不能确定

3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是(　　)．

A．6 B．8 C．9 D．10

(第3题图) (第4题图)

4．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC＝5 cm，BC＝4 cm，那么△DBC的周长是(　　)．

A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm

5．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是(　　)．

A．直角三角形 　　　　 B．锐角三角形

C．钝角三角形 　　　 　D．等边三角形

6．已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,若AB＝10 cm,则BD＝ cm；若PA＝10 cm，则PB＝__________ cm.

7．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________．

(第7题图)

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交BC于E，BE＝5，则AE＝______，∠AEC＝______.

(第8题图)

9．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为________．

(第9题图)

10．如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，连接CE.求证：AB＞AC.

(第10题图)

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使点P到点A，B的距离相等(保留作图痕迹，不用证明)．

(第11题图)

12．如图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，连接EF.求证：OP垂直平分EF.

(第12题图)

13．如图所示，已知OA＝OB，AC＝BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD的中点．求证：(1)OM平分∠AOB；(2)OM是CD的垂直平分线．

(第13题图)

答案与解析

1．B　2．B

3．B　解析：利用线段的垂直平分线的性质可知,△CDE的周长即为CD＋DE＋EC的长,CD＋DE＋EC＝CD＋AD＝3＋5＝8.

4．D　解析：△DBC的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝5＋4＝9(cm)．

5．C

6．5　10

7．45°　解析：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°.∵AB的垂直平分线交AC于D，

∴AD＝BD.∴∠ABD＝∠A＝30°.∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－30°＝45°.

8．5　30°　解析：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等，故AE＝BE.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故∠AEC＝2∠B.

9．6　解析：∵DE是BC边的垂直平分线，∴EC＝EB.∴△EDC的周长等于△BDE的周长,即BD＋BE＋DE＝24①.

又∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴BD＋BE－DE＝12②.

∴①－②，得2DE＝12.∴DE＝6.

10．证明：∵ED是BC的垂直平分线，

∴EB＝EC.

又∵在△AEC中，AE＋EC＞AC，

∴AE＋EB＞AC，即AB＞AC.

11．解：如图，分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧分别交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点P，则点P即为所求．

(第11题答图)

解析：在以A,B为圆心画弧时,一定要以大于 的长为半径作弧,否则由于两弧不相交而得不到交点．

12．证明：∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴∠PEO＝∠PFO＝90°.

∵OM平分∠AOB，∴∠EOP＝∠FOP.

在△PEO和△PFO中，

∵

∴△PEO≌△PFO.(AAS)

∴PE＝PF，EO＝FO.

∴O，P在EF的垂直平分线上．

∴OP垂直平分EF.

13．证明：(1)如图，连接OC，OD.

(第13题答图)

∵OA⊥AC，OB⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.

在△AOC和△BOD中，

∵

∴△AOC≌△BOD.(SAS)

∴∠AOC＝∠BOD，OC＝OD.

∵M是CD的中点，

∴CM＝DM.

在△CMO和△DMO中，

∵

∴△CMO≌△DMO.(SSS)

∴∠COM＝∠DOM.

∴∠AOC＋∠COM＝∠BOD＋∠DOM，

即∠AOM＝∠BOM，

∴OM平分∠AOB.

(2)由(1)，得△CMO≌△DMO，

∴∠OMC＝∠OMD＝90°，

∴OM⊥CD.

又∵M是CD的中点，

∴OM是CD的垂直平分线．