【329562】2.5.2 矩形的判定1

2.5.2 矩形的判定

要点感知1 三个角是__________角的四边形是矩形.

预习练习1-1 在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.

要点感知2 对角线__________的平行四边形是矩形.

预习练习2-1 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是_______(只填一个).

知识点1 三个角是直角的四边形是矩形

1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )

A.测量对角线是否相互平分

B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否为直角

D.测量四边形的其中三个角是否都为直角

2.如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).

3.已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.

知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形

4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )

A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠1=∠2

第4题图 第5题图 第6题图

5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )

A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥

6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.

7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.

8.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )

A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC

9.下列关于矩形的说法，正确的是( )

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相平分的四边形是矩形

C.矩形的对角线互相垂直且平分

D.矩形的对角线相等且互相平分

10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )

A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC

第10题图 第11题图 第12题图

11.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )

A.2 B.3 C.4 D.4

12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).

13.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.

14.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.

(1)求证：△BOE≌△DOF；

(2)若OD= AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.

15.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

参考答案

要点感知1 直

预习练习1-1 矩

要点感知2 相等

预习练习2-1 答案不唯一，如∠BAD=90°或AC=BD等

1.D 2.①②③④

3.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，AB∥CD.

∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°.

又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.

∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°.

∴∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°.

同理可证∠GHE=90°，∠E=90°.

∴四边形EFGH为矩形.

4.C 5.C 6.60

7.证明：∵∠1=∠2，

∴BO=CO，即2BO=2CO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=OD.

∴AC=2CO，BD=2BO.

∴AC=BD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形.

8.A 9.D 10.C 11.A 12.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD

13.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.

∴△ADC≌△AEB（SAS）.

∴DC＝BE.

又∵DE＝BC，

∴四边形BCDE是平行四边形.

连接BD，CE.

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE(SAS).

∴BD＝CE.

∴四边形BCDE是矩形.

14.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.

∵AE=CF，∴OE=OF.

∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.

又∵∠EOB=∠FOD，

∴△BOE≌△DOF.

(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵OD= AC，OD= BD，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形.

15.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，

∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.

∴OF=OC，

同理可证：OC=OE，

∴OE=OF.

(2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，

∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.

∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，

而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，

∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，

∴EF= = =13.

∴OC= EF= .

(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.

理由：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，

∴四边形AECF为平行四边形.

又∵∠ECF=90°，

∴四边形AECF为矩形.