【320526】【课本】5年级第12讲_几何计数

第十二讲 几何计数

漫画，共一格

一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。

分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。

后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？

几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．

三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．
 

例 题1．下列图形中各有多少个三角形？




 

「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？

下图中有多少个三角形？

例题2．右 图中共有多少个三角形？



 

「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？

练 习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．

下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.

例题3．下 列图形中，分别有多少个正方形？




 

「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．

围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？

例题4．在 右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）
（1）一共有多少个长方形？
（2）包含“★”的长方形共多少个？
（3）包含“☆”的长方形共多少个？
（4）两个五角星都包含的长方形共多少个？
（5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？
（6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？

「分析」如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂．那有没有好一点的方法？

我们换一个角度来思考这个问题．同学们可以想想看，怎样才能在图中画出一个长方形来？当 然很简单，只需要画出它的两条长和两条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线．如右图所示．因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数．

下图中是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．那么：
（1）从中可以数出多少个长方形？
（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？

通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类枚举、乘法原理以及排列组合都有着密切的关系．同学们在学习过程中要勤于观察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法．

例题5．右图中共有多少个长方形？（注意：长方形包括正方形）
 

「分析」我们可以考虑下方3×5的长方形和右边6×2的长方形，分别计算出两部分中长方形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的．哪些重复计算了？容易看出来重复计算的是右下角重叠的3×2的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最后答案．

例题6．右图中有多少个平行四边形？

「分析」题目中要求数出平行四边形的个数，那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何数出每一种的数量呢？

数学家的墓志铭

一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志．

古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”．）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二． 德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献．甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑．

16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上． 瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”．这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语．

阿基米德（公元前287年—公元前212年）

1. 右 图中共有多少个三角形？
   
   
    

2. 右图中共有多少个三角形？
   （14）

3. 右图是由12个 的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个正方形．
   
    

4. 右图是由15个 的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个长方形．（长方形包括正方形．）
   
    

5. 在 右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）
   （1）包含“★”的长方形共多少个？
   （2）包含“☆”的长方形共多少个？
   （3）两个五角星都包含的长方形共多少个？