【321438】3　圆柱与圆锥

3　圆柱与圆锥

一、圆柱的认识

1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头盒等。

2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。

3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高。

4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形硬纸形成的图形就是圆柱。

二、圆柱的表面积

1.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示:S_侧=Ch。如果已知底面直径,底面周长的计算公式是C=πd,圆柱的侧面积公式就是S_侧=πdh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是C=2πr,圆柱的侧面积公式就是S_侧=2πrh。

2.圆柱的表面积=侧面积+底面积×2,用字母表示为S_表=Ch+2πr²。

三、圆柱的体积

1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。

2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积×高,推导出:圆柱的体积=底面积×高。

3.圆柱的体积公式是V_圆柱=Sh,如果知道圆柱的底面半径r和高h,圆柱的体积公式就是V_圆柱=πr²h。

4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思想,将其转化成规则的图形进行计算。

四、圆锥的认识

1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。

2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。

3.圆锥高的测量方法:①把圆锥的底面水平放好;②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面;③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。

4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。

五、圆锥的体积

1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次。通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的 。

2.圆锥的体积公式:V_圆锥= Sh。已知圆锥的底面半径和高,可以直接利用公式V_圆锥= πr²h来计算体积。

提示:如果沿一条斜线将圆柱的侧面展开,它的侧面会是一个平行四边形,圆柱的底面周长是平行四边形的底,圆柱的高是平行四边形的高。

注意:圆柱的侧面展开不可能得到梯形。

提示:在实际中,不是所有的圆柱形物体都有两个底面,要具体问题具体分析。

例如:求一段排气筒的表面积就是求圆柱的侧面积,求一个水桶的表面积就是求圆柱的侧面积和一个底面积的和。

提示:把圆柱转化成长方体来求体积,运用的是转化的思想方法。

要点:圆柱的高不变,底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍,则体积扩大到原来的n²倍;若底面半径、直径、或周长缩小到原来的 ,则体积缩小到原来的 。

　　注意:从圆锥的顶点到圆锥底面圆周上的一点连一条直线,沿这条直线把圆锥的侧面展开,会得到一个扇形。

提示:如果把一个圆锥切成大小、形状完全相同的两块,切面是两个以底面直径为底边,以圆锥的高为高的等腰三角形。

圆柱与圆锥的关系:

(1)等体积等高时,圆柱底面积是圆锥的 ,圆锥底面积是圆柱的3倍;

(2)等体积等底时,圆锥高是圆柱的3倍,圆柱高是圆锥的 。