【323396】2023八年级数学上册 专题突破 第01讲 三角形基础知识之三角形的边、角、“三线”专

第1讲三角形的边、角、三线专题探究

考点一三角形的边角关系

【知识点睛】

• 边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边

• 角：三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和

• 应用：

1.判断三条线段能否构成三角形的方法：

①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；

②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形

若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形

如 图，有：

2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等

• 飞镖模型：

【类题训练】

1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．

【解答】解：设第三边为a，

根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，

即3＜a＜7，

∵a为整数，

∴a的最大值为6，

则三角形的最大周长为6+2+5＝13．

故选：D．

2．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（　　）

A．6m B．18m C．26m D．20m

【分析】由PA＝12m，PB＝13m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．

【解答】解：∵PA＝12m，PB＝13m，

∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，

即1m＜AB＜25m，

∴AB间的距离不可能是：26m．

故选：C．

3．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（　　）

A．7 B．8 C．13 D．14

【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．

【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，

∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，

∵第三边为整数，

∴周长为13这个范围内，符合要求．

故选：C．

4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）

A．1，2，3 B．4，5，10

C．5，10，13 D．2a，3a，6a（a＞0）

【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．

【解答】解：A．∵1+2＝3，

∴不能构成三角形，本选项不符合题意；

B．∵4+5＜10，

∴不能构成三角形，本选项不符合题意；

C．∵13﹣5＜10＜5+13，

∴长度为5，10，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；

D．∵2a+3a＜6a（a＞0），

∴不能构成三角形，本选项不符合题意．

故选：C．

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．50°

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．

【解答】解：∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∵∠BCE＝40°，

∴∠B＝50°，

∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，

∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD

＝180°﹣50°﹣30°

＝100°．

故选：A．

6．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（　　）

①∠A+∠B＝∠C，② ，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．

【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

故①符合题意；

∵∠A＝ ∠B＝ ∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

故②符合题意；

∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝180°× ＝90°，∠B＝180°× ＝36°，∠C＝180°× ＝54°，

∴△ABC是直角三角形，

故③符合题意；

∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴ ∠A＝180°，

∴∠A＝ ，

∴∠B＝ ，∠C＝ ，

∴△ABC不是直角三角形，

故④不符合题意；

综上，符合题意得有3个，

故选：C．

7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°

【分析】由折叠性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角可求得∠ADF＝60°，则∠ADE＝30°，由三角形的内角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，则可求∠CEF的度数．

【解答】解：由题意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，

∵∠BDF＝120°，

∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，

∴∠ADE＝30°，

∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，

∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，

∴∠DEF＝135°，

∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．

故选：A．

8．（秦淮区期中）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是　40　°．

【分析】先利用三角形的内角和求出∠FCE，再利用平行线的性质说明∠A与∠FCE的关系得结论．

【解答】解：延长FC交AD于点G．

∵∠E＝80°，∠F＝60°，

∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F

＝180°﹣80°﹣60°

＝40°．

∵AB∥CF，AD∥CE

∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．

∴∠A＝∠FCE＝40°．

故答案为：40．

9．（枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°

【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．

【解答】解：如图，

∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，

∴∠CGF＝∠DGB＝45°，

则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，

故选：C．

10．（吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．60°

【分析】利用三角形外角的性质解答即可．

【解答】解：如图所示，

∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，

故选：B．

11．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝　　度．

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．

【解答】解：在△ABD中，

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，

∴∠BHC＝90°+35°＝125°．

12．（和平区校级期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝　a﹣3b+c　．

【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．

【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，

∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，

|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，

故答案为：a﹣3b+c．

13．（东湖区期末）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为　8　cm．

【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．

【解答】解：设第三边长为x．

根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，

即1＜x＜5，

因为第三边的长为奇数，

所以x＝3，

所以周长＝3+3+2＝8．

故答案为：8；

14．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　　．

【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．

【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝110°，则β＝55°，

180°﹣110°﹣55°＝15°，

故答案为：15°．

15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．

（1）若a，b，c满足（a﹣b）²+（b﹣c）²＝0，试判断△ABC的形状；

（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．

【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；

（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．

【解答】解：（1）∵（a﹣b）²+（b﹣c）²＝0，

∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，

∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形；

（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，

∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，

∴c＝4，5，6，

∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；

当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．

16．（建湖县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．

（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；

（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．

【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；

（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．

【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，

∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，

∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠DCB＝∠ACD＝33°，

∵DE∥BC，

∴∠EDC＝∠DCB＝33°，

∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；

（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，

∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠ACB＝2（x°﹣17°），

∵DE∥BC，

∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），

∵∠EDB＝∠A+∠AED，

∴95°＝x°+2（x°﹣17°），

∴x＝43°，

∴∠A＝43°．

考点二三角形的“三线”及其作用

【知识点睛】

	类型	所在位置	作用
三角形的中线	线段	△内部	△的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积 2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分
三角形 的高线	线段	△内部、外部、边上	△中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余
三角形的角平分线	线段	△内部	△的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论

• 三角形角平分线夹角模型：

• 角的“8”字模型：

变型：

• △高线与角平分线夹角模型：

【类题训练】

1．下列判断错误的是（　　）

A．三角形的三条高的交点在三角形内

B．三角形的三条中线交于三角形内一点

C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点

D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点

【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．

【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；

B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；

C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；

D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．

故选：A．

2．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（　　）

A．10 B．5 C．8 D．4

【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S_△ADG＝S_△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S_△BCE＝ S_△ABC＝20，S_△BDE＝ S_△EBC＝10，S_△EDG＝ S_△BDE＝5．

【解答】解：连接DE，如图，

∵D为BC的中点，G为BE的中点，

∴DG为△BCE的中位线，

∴DG∥AC，

∴S_△ADG＝S_△EDG，

∵E点为AC的中点，

∴S_△BCE＝ S_△ABC＝ ×40＝20，

∵D点为BC的中点，

∴S_△BDE＝ S_△EBC＝ ×20＝10，

∵G点为BE的中点，

∴S_△EDG＝ S_△BDE＝ ×10＝5．

故选：B．

3．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S_△ABC＝10cm²，则阴影部分的面积为　 　cm²．

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．

【解答】解：∵点E是AD的中点，

∴S_△ABE＝ S_△ABD，S_△ACE＝ S_△ADC，

∴S_△ABE+S_△ACE＝ S_△ABC＝ ×10＝5cm²，

∴S_△BCE＝ S_△ABC＝5cm²，

∵点F是CE的中点，

∴S_△BEF＝ S_△BCE＝ ×5＝ cm²．

故答案为： ．

4 ．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，则∠A为（　　）

A．44° B．54° C．58° D．64°

【分析】先利用角平分线的性质得到∠MBC＝ ∠ABC，∠MCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则∠M＝90°+ ∠A，然后把∠M＝117°代入可计算出∠A的度数．

【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，

∴∠MBC＝ ∠ABC，∠MCB＝ ∠ACB，

∴∠MBC+∠MCB＝ （∠ABC+∠ACB），

∵∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，

∴∠M＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A，

∵∠M＝117°，

∴90°+ ∠A＝117°，

∴∠A＝54°．

故选：B．

5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，下列结论正确的有（　　）

①S_△ABD＝S_△DCA；②S_△AEF＝S_△BDF；③S_{四边形EFDC}＝2S_△AEF；④S_△ABC＝3S_△ABF

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据三角形面积公式，利用BD＝CD，AE＝CE得到S_△ABD＝S_△ACD＝ S_△ABC，S_△ABE＝S_△BCE＝ S_△ABC，所以S_△ABD＝S_△ABE，则可对①进行判断；利用面积的和差得到S_△AEF＝S_△BDF，则可对②进行判断；连接CF，如图，利用三角形面积公式得到S_△FBD＝S_△FCD，S_△FAE＝S_△FCE，则可对③进行判断；先判断S_△ABF＝S_{四边形EFDC}，再利用S_{四边形EFDC}＝2S_△AEF，则可对④进行判断．

【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，

∴BD＝CD，AE＝CE，

∴S_△ABD＝S_△ACD＝ S_△ABC，S_△ABE＝S_△BCE＝ S_△ABC，所以①正确；

∴S_△ABD＝S_△ABE，

∴S_△AEF＝S_△BDF；所以②正确；

连接CF，如图，

∴S_△FBD＝S_△FCD，S_△FAE＝S_△FCE，

而S_△AEF＝S_△BDF，

∴S_{四边形EFDC}＝2S_△AEF；所以③正确；

∵S_△ABE＝S_△ADC＝ S_△ABC，

∴S_△ABF＝S_{四边形EFDC}，

而S_{四边形EFDC}＝2S_△AEF；

∴S_△ABF＝S_△AEF+S_△BDF＝S_{四边形EFDC}，

∴S_△ABC＝3S_△ABF，所以④正确．

故选：D．

6．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（　　）

A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°

【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，

再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F＝ ∠O．

【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，

∴∠AMN＝∠O+∠ONM，

∵∠EMN是△FMN的外角，

∴∠EMN＝∠F+∠FNM，

∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，

∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，

∴∠O＝2∠F，

∴∠F＝30°．

故选：D．

7 ．（碑林区校级期中）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（　　）

A．5 B．2.5 C．1.4 D．1.25

【分析】根据AM是△ABC的中线，求出三角形AMC的面积，根据垂线段最短及三角形面积公式，求出MP的最小值．

【解答】解：∵AM是△ABC的中线，

∴S_△AMC＝ ＝5，

当MP⊥AC时，MP有最小值，

×MP＝5，

∴MP＝2.5，

故选：B．

8 ．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．

（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；

（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．

【分析】（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠BAD，再利三角形外角与内角的关系求出∠ADE，最后利用三角形外角与内角的关系求出∠DAE；

（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，两式相减得结论．

【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．

∵AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，

∴∠BAD＝ ∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．

∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，

∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．

（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，

∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．

∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）

＝∠BAE﹣∠CAE

＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）

＝2∠DAE

＝30°．

9．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．

（1）【性质理解】

如图2，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求证：∠EAB＝∠B；

（2）【性质应用】

如 图3，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度数．

【分析】（1）根据对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，再根据角的和差即可得解；

（2）根据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可．

【解答】（1）证明：由对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，

∴∠OAB﹣∠C＝∠D﹣∠B，

∵∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，

∴∠OAB﹣∠EAO＝∠B，

即∠EAB＝∠B；

（2）解：由题意得，∠ECD﹣∠DBE＝20°，

由（1）得，∠DBE+∠BDO＝∠ECD+∠OEC，

∵∠BDO﹣∠OEC＝∠ECD﹣∠DBE＝20°，

∵∠BOD＝∠A，∠BOD+∠DOE＝180°，

∴∠A+∠DOE＝180°，

∴∠ADO+∠AEO＝180°，

∵∠AEO+∠OEC＝∠BDO+∠ADO＝180°，

∴∠BDO＝∠AEO，

∴∠BDO+∠OEC＝180°，

∵∠BDO﹣∠OEC＝20°，

∴∠BDO＝100°．

10．在△ABC中，

（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．

若∠A＝60°，求∠BPC的度数．

若∠A＝n°，则∠BPC＝　　．

（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．

（ 3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：

∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？

（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，

△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角和定理计算．

（2）利用三角形内、外角和定理及角平分线性质求解．

（3）利用（1）（2）题结论得出．

（4）利用（3）题结论列方程求解．

【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P

∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ACB

∴∠1+∠2＝ （∠ABC+∠ACB）＝60°

∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）

＝180°﹣ （180°﹣∠A）

＝90°+ ∠A

＝120°．

故答案为：90°+ n°．

（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°

∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A

＝180°+∠A

＝180°+n°．

∵△ABC的外角平分线相交于点Q．

∴∠QBC＝ ∠DBC，∠QCB＝ ∠FCB．

∴∠QBC+∠QCB＝ （∠DBC+∠ECB）

＝ （180°+n°）＝90°+ n°．

∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）

＝180°﹣（90°+ n°）

＝90°﹣ n°．

（3）由（1）知，∠BPC＝90°+ n°，

由（2）知：∠BQC＝90°+ n°，

∴∠BPC+∠BQC＝180°．

（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，

∴∠EBQ＝90°．

当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣ n°）．

∴n＝90．

∴∠A＝90°．

当∠BQC＝2∠E时，

∵∠BQC+∠E＝90°．

∴∠BQC＝60°．

∴90°﹣ n°＝60°．

∴n＝60．

∴∠A＝60°．

当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，

∴∠E＝45°．

∴∠BQC＝90°﹣ n°＝45°

∴n＝90．

∴∠A＝90°．

当∠E＝2∠BQC时，

∵∠E+∠BQC＝90°．

∴∠BQC＝30°．

∴90°﹣ n°＝30°．

∴n＝120．

∴∠A＝120°．

综上：∠A＝90°，60°，120°

11．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，∠AEB＝　　°；

（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；

（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；

（3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∴∠BAE＝ ∠OAB，∠ABE＝ ∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE＝ （∠OAB+∠ABO）＝45°，

∴∠AEB＝135°；

故答案为：135；

（2）∠D的度数不随点A、B的移动而发生变化，

设∠BAD＝α，

∵AD平分∠BAO，

∴∠BAO＝2α，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，

∵BC平分∠ABN，

∴∠ABC＝45°+α，

∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，

∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；

（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，

∴∠AOE＝135°，

∴∠E＝180°﹣∠EAO﹣∠AOE

＝45°﹣∠AOE

＝45°﹣ ∠BAO

＝45°﹣ （180°﹣90°﹣∠ABO）

＝ ∠ABO，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，

∴∠EAF＝ ∠BAO+ ∠GAO＝ ×180°＝90°，

在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，

则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；

②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，

此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；

③当∠F＝3∠E时，得∠E＝ ×90°＝22.5°，

此时∠ABO＝45°；

④当∠E＝3∠F时，得∠E＝ ×90°＝67.5°，

此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．

综上可知，∠ABO的度数为60°或45°