【323271】2023八年级数学上册 第1章 分式单元测试（2）（含解析）（新版）湘教版

《第1章 分式》单元测试卷（2）

　

一、选择题

1．在函数 中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜ B．x≠﹣ C．x≠ D．x＞

2．⁰的相反数是（　　）

A．3.14﹣π B．0 C．1 D．﹣1

3．下列分式中，最简分式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．化简 的结果是（　　）

A．x+1 B． C．x﹣1 D．

5．已知 ，则 的值是（　　）

A． B．﹣ C．2 D．﹣2

6．用换元法解分式方程 ﹣ +1=0时，如果设 =y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）

A．y²+y﹣3=0 B．y²﹣3y+1=0 C．3y²﹣y+1=0 D．3y²﹣y﹣1=0

7．分式方程 =1的解为（　　）

A．1 B．2 C． D．0

8．关于x的方程 =2+ 无解，则k的值为（　　）

A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定

9．若 的值为 ，则 的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．﹣ D．

10．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（　　）

A． B． C． D．

　

二、填空题：

11．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．

12．已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a=　　．

13．当x=2时，分式 的值是　　．

14．化简 的结果是　　．

15．计算： =　　．

16．若分式方程 =a无解，则a的值为　　．

17．解分式方程 ，其根为　　．

18．计算： ﹣ =　　．

　

三、解答题

19．化简： ．

20．先化简，再求值： ，其中x=﹣2．

21．解分式方程：

（1） =

（2） +1= ．

22．已知abc≠0，且a+b+c=0，求a（ + ）+b（ + ）+c（ + ）的值．

23．小明解方程 ﹣ =1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．

　

四、应用题

24．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

　

湘教新版八年级数学上册《第1章 分式》单元测试卷（2）

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．在函数 中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜ B．x≠﹣ C．x≠ D．x＞

【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．

【解答】解：根据题意得：3x﹣1≠0，解得：x≠ ．

故选C．

【点评】当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．

　

2．（π﹣3.14）⁰的相反数是（　　）

A．3.14﹣π B．0 C．1 D．﹣1

【考点】零指数幂；相反数．

【分析】首先利用零指数幂的性质得出（π﹣3.14）⁰的值，再利用相反数的定义进行解答，即只有符号不同的两个数交互为相反数．

【解答】解：（π﹣3.14）⁰的相反数是：﹣1．

故选：D．

【点评】本题考查的是相反数的定义以及零指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键．

　

3．下列分式中，最简分式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】最简分式．

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】解： ， ， ， 这四个是最简分式．

而 = = ．

最简分式有4个，

故选C．

【点评】判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子和分母是不是有公因式．

　

4．化简 的结果是（　　）

A．x+1 B． C．x﹣1 D．

【考点】分式的加减法．

【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式= ﹣ = = =x+1．

故选A

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

5．已知 ，则 的值是（　　）

A． B．﹣ C．2 D．﹣2

【考点】分式的化简求值．

【分析】观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可．

【解答】解：∵ ，

∴ ﹣ = ，

∴ ，

∴ =﹣2．

故选D．

【点评】解答此题的关键是通分，认真观察式子的特点尤为重要．

　

6．用换元法解分式方程 ﹣ +1=0时，如果设 =y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）

A．y²+y﹣3=0 B．y²﹣3y+1=0 C．3y²﹣y+1=0 D．3y²﹣y﹣1=0

【考点】换元法解分式方程．

【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是 ，设 =y，换元后整理即可求得．

【解答】解：把 =y代入方程 +1=0，得：y﹣ +1=0．

方程两边同乘以y得：y²+y﹣3=0．

故选：A．

【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

　

7．分式方程 =1的解为（　　）

A．1 B．2 C． D．0

【考点】解分式方程．

【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2﹣3x=x﹣2，

解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解．

故选A．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

　

8．关于x的方程 =2+ 无解，则k的值为（　　）

A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定

【考点】分式方程的解．

【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x﹣3=0，即x=3，代入整式方程计算即可求出k的值．

【解答】解：去分母得：x=2x﹣6+k，

由分式方程无解，得到x﹣3=0，即x=3，

把x=3代入整式方程得：3=2×3﹣6+k，k=3，

故选B．

【点评】本题考查了分式方程的解，注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，利用这一结论可知：分式方程无解，则有增根，求出增根，增根就是使分式方程分母为0的值．

　

9．若 的值为 ，则 的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．﹣ D．

【考点】分式的值．

【分析】可设3x²+4x=y，根据 的值为 ，可求y的值，再整体代入可求 的值．

【解答】解：设3x²+4x=y，

∵ 的值为 ，

∴ = ，解得y=1，

∴ = =1．

故选：A．

【点评】考查了分式的值，关键是整体思想的运用．

　

10．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（　　）

A． B． C． D．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据题意B类玩具的进价为（m﹣3）元/个，根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．

【解答】解：设A类玩具的进价为m元/个，则B类玩具的进价为（m﹣3）元/个，

由题意得， = ，

故选：C．

【点评】本题考查的是列分式方程解应用题，找到等量关系是解决问题的关键．

　

二、填空题：

11．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≠3　．

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分母不等于0进行解答即可．

【解答】解：要使代数式 在实数范围内有意义，

可得：x﹣3≠0，

解得：x≠3，

故答案为：x≠3

【点评】此题考查分式有意义，关键是分母不等于0．

　

12．已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a=　6　．

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式无意义，分母等于0，把x=2代入分母，解关于a的方程即可．

【解答】解：∵当x=2时，分式无意义，

∴x²﹣5x+a=2²﹣5×2+a=0，

解得a=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的知识点为：分式无意义，分母为0．

　

13．当x=2时，分式 的值是　1　．

【考点】分式的值．

【分析】将x=2代入分式，即可求得分式的值．

【解答】解：当x=2时，

原式= =1．

故答案为：1．

【点评】本题是一个基础题，考查了分式的值，要熟练掌握．

　

14．化简 的结果是　 　．

【考点】分式的加减法．

【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减计算，然后约分即可得解．

【解答】解： ﹣ ，

= ，

= ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了同分母分式的加减运算，是基础题，比较简单，注意要约分．

　

15．计算： =　1　．

【考点】分式的加减法．

【分析】直接根据同分母的分数相加减进行计算即可．

【解答】解：原式= =1．

故答案为：1．

【点评】本题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

　

16．若分式方程 =a无解，则a的值为　1或﹣1　．

【考点】分式方程的解．

【分析】由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入计算即可求出a的值．

【解答】解：去分母得：x﹣a=ax+a，即（a﹣1）x=﹣2a，

显然a=1时，方程无解；

由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，

把x=﹣1代入整式方程得：﹣a+1=﹣2a，

解得：a=﹣1，

综上，a的值为1或﹣1，

故答案为：1或﹣1

【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．

　

17．解分式方程 ，其根为　x=﹣5　．

【考点】解分式方程．

【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣2），所以方程两边同乘以x（x﹣2）化为整式方程求解．

【解答】解：方程两边去分母得：5（x﹣2）=7x，

整理解得x=﹣5．

检验得x=﹣5是原方程的解．

故本题答案为：x=﹣5．

【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

　

18．计算： ﹣ =　 　．

【考点】分式的加减法．

【分析】根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，求解即可．

【解答】解：原式=

=

= ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了分式的加减法，解答本题的关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

　

三、解答题

19．化简： ．

【考点】分式的混合运算．

【分析】根据分式混合运算的法则先计算括号里面的，再把除法变为乘法进行计算即可．

【解答】解：原式=

=

=

=

= ．

【点评】本题考查的是分式的混合运算，即分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

　

20．先化简，再求值： ，其中x=﹣2．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先通分，然后进行四则运算，最后将x=﹣2代入计算即可．

【解答】解：原式= ，

当x=﹣2时，原式= =﹣1．

【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

　

21．解分式方程：

（1） =

（2） +1= ．

【考点】解分式方程．

【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

【解答】解：（1） =

去分母，得3（x+1）=2×2x

即3x+3=4x

解得x=3

检验：当x=3时，2x（x+1）=24≠0，

∴x=3是原分式方程的解；

（2） +1=

去分母，得2y²+y（y﹣1）=（3y﹣1）（y﹣1）

即2y²+y²﹣y=3y²﹣4y+1

解得y=

检验：当y= 时，y（y﹣1）=﹣ ≠0

∴y= 是原分式方程的解．

【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应检验．

　

22．已知abc≠0，且a+b+c=0，求a（ + ）+b（ + ）+c（ + ）的值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】由题意可知：a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，将原式的括号去掉，然后将同分母的相加，再利用条件式即可得出答案．

【解答】解：由a+b+c=0得：a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，

∴

=

=

=﹣3；

【点评】本题考查分式的化简求值问题，需要将所求的式子进行拆分重组，需要较高的观察能力．

　

23．小明解方程 ﹣ =1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．

【考点】解分式方程．

【分析】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．

【解答】解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；

正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，

去括号得：1﹣x+2=x，

移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，

合并同类项得：﹣2x=﹣3，

解得：x= ，

经检验x= 是分式方程的解，

则方程的解为x= ．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

　

四、应用题

24．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）关键语是“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”可根据此列出方程．

（2）本题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据“使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元”看俄得出关于利润的不等式方程，组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．

【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．

由题意得： ．

解得：x=10．

检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0

∴x=10是原分式方程的解．

每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8

答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．

（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．

由题意得：

解得：23＜y≤25

∵y为整数∴y=24或25．

∴共有2种方案．

方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；

方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．

【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题要注意（2）中未知数的不同取值可视为不同的方案．