【323244】（山西专版）2024春八年级数学下册 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组学情评估

第二章学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列式子中不是不等式的是(　　)

A．x＜0 B．4x＞7 C．m≠1 D．x＋2y

2．若－2a<－2b，则a>b，其根据是(　　)

A．不等式的基本性质1 B．不等式的基本性质2

C．不等式的基本性质3 D．等式的基本性质2

3．不等式x≤2的解集在数轴上表示正确的是(　　)

4．下列数值中是不等式－<－的解的是(　　)

A．3 B．2 C．1 D．0

5．不等式组的解集是(　　)

A．无解 B．x≥5 C．－3＜x≤5 D．x<－3

6．在平面直角坐标系中，若点A(x＋3，－2＋x)在第四象限，则x的取值范围是(　　)

A．－3<x<2 B．x<－3 C．x<2 D．x>－3

7．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为(　　)

A．a>4 B．a≤4 C．a<4 D．a≥4

8．某文具店开展促销活动，一次性购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠，小亮同学准备为班级购买奖品，需买8本活页本和若干支中性笔，已知活页本每本18元，中性笔每支5元，如果小亮想享受打折优惠，那么至少需要购买中性笔(　　)

A．12支 B．11支 C．10支 D．9支

9．某种饮料的零售价为每瓶6元，现凡购买2瓶及以上，超市推出两种优惠销售方法：(1)1瓶按原价，其余瓶按原价的七折优惠；(2)全部按原价的八折优惠．你在购买相同数量饮料的情况下，要使第一种销售方法比第二种销售方法优惠，则至少要购买这种饮料(　　)

A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶

10．如图，已知正比例函数y₁＝kx与一次函数y₂＝－x＋b的图象交于点P.下面有四个结论：①k>0；②b>0；③当x>0时，y₁>0；④当x<－2时，kx>－x＋b.其中正确的是(　　)

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④

(第10题)

二、填空题(每题3分，共15分)

11．x与3的和为负数，用不等式表示为____________________．

12．不等式9－3x>0的最大整数解为________．

13．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－3，2)，B(1，0)，则关于x的不等式kx＋b<2的解集为__________．

(第13题)

14．对于x，y，定义一种新运算“*”：x*y＝3x－2y，如2*5＝3×2－2×5＝－4，那么(x＋1)*(x－1)≥5的解集是__________．

15．已知关于x，y的方程组的解为非负数，m－2n＝3，z＝2m＋n，且n<0，则z的取值范围是________．

三、解答题(共75分)

16．(8分)(1)解不等式3x<x－4，并在数轴上把它的解集表示出来；

(2)求满足不等式x＋2＞3x的所有正整数解．

17．(7分)解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．

(第17题)

18．(10分)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．

<＋1.

解：2(x－2)<3(2x＋1)＋12，……第一步

2x－4<6x＋3＋12，……第二步

2x－6x<3＋12＋4，……第三步

－4x<19，……第四步

x<－.……第五步

任务一：填空：

①以上解题过程中，第二步是依据________________(运算律)进行变形的；

②第________步出现错误，这一步错误的原因是________________．

任务二：请直接写出该不等式的正确解集．

19．(8分)如图，根据图中信息解答下列问题：

(1)关于x的不等式ax＋b>0的解集是________；

(2)关于x的不等式mx＋n<1的解集是________；

(3)当y₁≤y₂时，直接写出x的取值范围；

(4)当0<y₂<y₁时，直接写出x的取值范围．

(第19题)

20.(8分)近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公司承接A、B两种货物的运输业务，已知A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50元/吨．该物流公司预计4月份运输这两种货物共300吨，且当月运输这两种货物收入的运费总额不低于19 800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨．

21．(10分)阅读与理解

若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的覆盖不等式．例如：不等式x>1的解都是不等式x≥－1的解，则x≥－1是x>1的覆盖不等式．

根据以上信息，回答问题：

(1)请你判断：不等式x<－1________不等式x<－3的覆盖不等式(填“是”或“不是”)；

(2)若关于x的不等式3x＋a<2是1－3x>0的覆盖不等式，且1－3x>0也是关于x的不等式3x＋a<2的覆盖不等式，求a的值；

(3)若x<－2是关于x的不等式ax－6>0的覆盖不等式，试确定a的取值范围．

22．(12分)某校组织学生参加以“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生丰富知识，参加旅行的人数估计为30至50人(包含30人和50人)，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1 000元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共2 000元，设该校有x人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为y₁元，选择乙旅行社所需费用为y₂元．

(1)分别求出y₁，y₂与x之间的函数关系式．

(2)若该校共有50人要参加此次旅行，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？

(3)计算说明人数在什么范围内时，选乙旅行社合算．

23．(12分)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每名老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每名老师带15名学生，就有1名老师少带6名学生．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：

学校计划此次实践活动的租金总费用不超过3 000元，安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

(1)参加此次实践活动的老师和学生各有多少名？

(2)既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆车上至少有2名老师，则租车总辆数为______辆．

(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

答案

一、1.D　2.C　3.D　4.A　5.C　6.A　7.D

8．A　点拨：设需要购买x支中性笔，根据题意，得18×8＋5x>200，解得x>11，所以至少需要购买12支中性笔．

9．B

10．A

二、11.x＋3<0　12.2　13.x＞－3　14.x≥0

15．1≤z<6　点拨：解关于x，y的方程组得由题意，得则m≥1.∵m－2n＝3，n<0，∴n＝<0，∴m<3，∴1≤m<3，∵z＝2m＋n＝2m＋＝，∴m＝.∴1≤<3，∴1≤z<6.

三、16.解：(1)移项，得 3x－x<－4，

合并同类项，得2x<－4，

系数化为1，得x<－2.

在数轴上表示如图．

(第16题)

(2)去分母，得5x＋4>6x，

移项、合并同类项，得－x>－4，

系数化为1，得x<4，

故不等式的正整数解为1，2，3.

17．解：

由①得x＞－2，由②得x≤3，

则不等式组的解集为－2＜x≤3.

解集在数轴上表示如图所示．

(第17题)

18．解：任务一：①乘法对加法的分配律

②五；系数化为1时，不等式的左、右两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变

任务二：x>－.

19．解： (1)x<4　(2)x<0　(3)x≤2.　(4)2<x<4.

20．解：设该物流公司4月份要承接运输A种货物x吨，则承接运输B种货物(300－x)吨，

根据题意，得80x＋50(300－x)≥19 800，

解得x≥160.

答：该物流公司4月份至少要承接运输A种货物160吨．

21．解：(1)是

(2)解3x＋a<2，得x<.解1－3x>0，得x<.依题意有＝，解得a＝1.

(3)∵x＜－2是关于x的不等式ax－6＞0的覆盖不等式，∴a＜0，不等式ax－6＞0的解集为x＜，∴≤－2，解得－3≤a<0.故a的取值范围是－3≤a＜0.

22．解：(1)根据题意，得y₁＝1 000×0.8x ＝ 800x，

y₂＝1 000×0.75x＋2 000＝750x＋2 000，

∴y₁与x之间的函数关系式为y₁＝800x，y₂与x之间的函数关系式为y₂＝750x＋2 000.

(2)当x＝50时，y₁＝ 800×50＝ 40 000；

y₂＝750×50＋2 000＝37 500＋2 000＝39 500.

∵39 500<40 000，

∴选择乙旅行社可以使总费用较低．

(3)当y₂<y₁时，750x＋2 000<800x ，解得x>40.

∵30≤x≤50，∴40<x≤50，

∴人数在40至50人(包括50人但不包括40人)范围内时，选乙旅行社合算．

23．解：(1)设参加此次实践活动的老师有x名，根据题意得14x＋10＝15x－6，解得x＝16，

14x＋10＝14×16＋10＝234.

答：参加此次实践活动的老师有16名，学生有234名．

(2)8

(3)设租甲型客车y辆，则租乙型客车(8－y)辆，根据题意得

解得2≤y≤5.5.

∵y为整数，∴y可取2，3，4，5.∴共有4种租车方案．

设租车费用为W元，

则W＝400y＋320(8－y)＝80y＋2 560，

∵80＞0，∴W随y的增大而增大，

∴当y＝2时，W_最小＝2 720.

答：学校共有4种租车方案，最少租车费用是2 720元．