【323221】（福建专版）2024春八年级数学下学期期中学情评估（新版）北师大版

期中学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．科学实验的意义在于帮助人们揭开自然界的某些奥秘，从而指导人类的实践活动．下面是四种科学实验仪器的图标，其中的图案是中心对称图形的是(　　)

2．下列命题都是真命题，其逆命题也是真命题的是(　　)

A．若a＋b＝0，则a²＝b²

B．若a＞b＞0，则|a|＞|b|

C．若a－b＝0，则a²＝b²

D．若a±b＝0，则a²＝b²

3．不等式x＋1＞的解集在数轴上表示正确的是(　　)

4. 如图，已知线段DE是由线段AB平移得到的，且AB＝DC＝4 cm，EC＝3 cm，则△DCE的周长是(　　)

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm

5．一次函数y＝nx＋2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx＋2n＞0的解集为(　　)

A．x＞－1 B．x＞－2 C．x＜－2 D．x＜－1

(第5题)　　 (第6题)

6．如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积是96，则菜地△ACD的面积是(　　)

A．24 B．27 C．32 D．36

7．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝16，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是(　　)

A．96 B．96 C．192 D．160

(第7题)　　 (第8题)

8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

9．春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于5%的情况下可以销售．小区阿姨要买标价为60元/壶的油，要求小明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是20%，则该壶油的售价至少是(　　)

A．51元 B．52.5元 C．55元 D．59元

10. 如图，将长方形ABCD绕点A旋转至长方形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与点D重合，AB′交CD于点E.若AB＝3，则△AEC的面积为(　　)

A．3 B．1.5 C．2 D.

(第10题)　　 (第12题)

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11．若不等式(a－3)x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是________．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝8 cm，则AC＝________cm.

13．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠BAC＝104°，∠B＝40°，则∠DAC的度数为________．

(第13题)　　 (第14题)

14．台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯(如图)进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则打________折销售优惠力度最大．

15．如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，点D在AB边上(不与点A，B重合)，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则△BDE周长的最小值是______cm.

(第15题)　　 (第16题)

16．如图，△ABC的顶点A(－8，0)，B(－2，8)，点C在y轴的正半轴上，AB＝AC，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为________．

三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．

18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°.

(1)在AC边上找一点D，使DB＋DC＝AC；(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明)

(2)在(1)的条件下，若AC＝5，AB＝6，求DC的长．

19．(8分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．

(1)将△ABC向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A₁B₁C₁；

(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB₂C₂；

(3)画出△ABC关于原点对称的图形△A₃B₃C₃；

(4)△AB₂C₂可看作由△A₁B₁C₁绕点P旋转而成，点A₁，B₁，C₁的对应点分别为A，B₂，C₂，则点P的坐标为________．

20．(8分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝CE.

21．(8分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC.

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2)若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．

22．(10分)漳州云霄县是“中国枇杷之乡”．某水果商从散户果农处收购A品种的枇杷200千克，B品种的枇杷150千克，共花费5 000元．已知A品种的枇杷比B品种的枇杷每千克的收购价多4元．

(1)A品种的枇杷和B品种的枇杷每千克的收购价分别是多少元？

(2)若A品种的枇杷每千克的售价比B品种的枇杷每千克的售价多6元，且运输过程中，A品种的枇杷损耗10%，B品种的枇杷损耗20%.水果商售完这批枇杷盈利不少于1 480元，则A品种的枇杷每千克的售价最少应为多少元？

23．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BD平分∠ABC.

(1)求证：BC＝DC；

(2)若∠ABC＝60°，DA⊥AB，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，试判断△ADE的形状，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若AD＝2，求BC的长．

24. (12分)给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[a]，即当n为非负整数时，若n－≤a＜n＋，则[a]＝n.如：[0]＝[0.499]＝0，[0.54]＝[1.499]＝1，[2]＝2，[3.51]＝[4.32]＝4，试解决下列问题：

(1)若[a]＝2，则实数a的取值范围为____________．

(2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围．

(3)求满足[c]＝c的所有非负实数c的值．

25. (14分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为E，连接CD.

(1)如图①，BD与BC的数量关系是______；

(2)如图②，若P是线段CB上一动点(点P不与点B，C重合)，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BD，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BD，BF，BP三者之间的数量关系．

答案

一、1.C　2.D　3.B　4.C　5.B　6.C　7.B　8.B　9.B

10. D

二、11.a＜3　12.4 　13.34°　14.八

15. (4＋2 )　点拨：由题意得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝DE.∵△BDE周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋AD＝AB＋CD＝4＋CD，∴当CD取最小值时，△BDE周长有最小值，易知当CD⊥AB时，CD取最小值2 cm，∴△BDE周长最小值为(4＋2 )cm.

16.

三、17.解：

解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜4，

所以不等式组的解集为1≤x＜4.

解集在数轴上表示如图所示．

18. 解：(1)如图，点D即为所求作．

(2)∵AC＝5，AB＝6，

∴BC＝＝＝.

设DC＝x，则DB＝AC－DC＝5－x.

在Rt△BCD中，∵BC²＋DC²＝BD²，

∴()²＋x²＝(5－x)²，

∴x＝1.4，即DC的长为1.4.

19. 解：(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求．

(2)如图，△AB₂C₂即为所求．

(3)如图，△A₃B₃C₃即为所求．

(4)(－2，－2)

20. 证明：过点A作AP⊥BC于P.

∵AB＝AC，AD＝AE，∴BP＝PC，DP＝PE，

∴BP－DP＝PC－PE，∴BD＝CE.

21. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠DAC＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ACB，

∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.

∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.

∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.

(2)解：过点O作OE⊥BC于E.

∵∠DAC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°.

∵BD平分∠ABC，∴OE＝OA＝1.

在Rt△OEC中，∠ACB＝45°，OE＝1，

∴CE＝1，∴OC＝.

22. 解：(1)设B品种的枇杷每千克的收购价是a元，则A品种的枇杷每千克的收购价是(a＋4)元，根据题意得200(a＋4)＋150a＝5 000，

解得a＝12，

∴ a＋4＝16，

∴A品种的枇杷每千克的收购价是16元，B品种的枇杷每千克的收购价是12元．

(2)设A品种的枇杷每千克的售价是b元，则B品种的枇杷每千克的售价是(b－6)元，

根据题意得200×(1－10%)b＋150×(1－20%)(b－6)－5 000≥1 480，解得b≥24，

∴A品种的枇杷每千克的售价最少应为24元．

23. (1)证明：∵AB∥DC，∴∠CDB＝∠ABD.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC.

(2)解：△ADE是等边三角形．

证明：∵BC＝DC，CE⊥BD，

∴BE＝DE，即E为DB的中点．

∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴AE＝BD＝DE.

∵∠ABC＝60°，∴易得∠ABD＝30°.

∴∠ADE＝90°－∠ABD＝60°，

∴△ADE是等边三角形．

(3)解：∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝2，

∴BE＝2.

易知∠CBD＝30°，∵CE⊥BD，∴CE＝BC，

在Rt△BCE中，由勾股定理得CE²＋BE²＝BC²，

即＋2²＝BC²，∴BC＝ .

24. 解：(1)1.5≤a＜2.5

(2)解不等式组得1≤x＜[b－1]，

由不等式组的整数解恰有2个，得[b－1]＝3，

则2.5≤b－1＜3.5，∴3.5≤b＜4.5.

(3)设[c]＝c＝k(k为整数，且k≥0)，

则c＝k，∴[k]＝k，∴k－≤k＜k＋，

解得－<k≤.

又∵k≥0，∴0≤k≤，

∴k＝0，1，2，∴c＝0，，.

25. 解：(1)BD＝BC

(2)BF＋BP＝BD.证明如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF＝60°，DP＝DF.

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠DBC＝60°.

又∵BD＝BC，∴△BCD是等边三角形．

∴∠CDB＝60°，CD＝DB，

∴∠CDB－∠PDB＝∠PDF－∠PDB，即∠CDP＝∠BDF.

在△DCP和△DBF中，

∴△DCP≌△DBF(SAS)．∴CP＝BF.

∵PC＋BP＝BC，∴BF＋BP＝BC.

又∵BD＝BC，∴BF＋BP＝BD.

(3)补全图形如下．BF－BP＝BD.