【330822】难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)

难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)

类型一　菱形及正方形中利用点的对称性求最小值【方法9】

1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值是(　　)

A．边长的两倍 B．周长

C．两条对角线长之和 D．以上都不对

2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，点E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP的最小值是(　　)

A. B．2 C. D．3

第2题图 第3题图

3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是________．

类型二　特殊四边形中的动态问题

一、动点问题

4．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度沿对角线AC运动到点C.设运动时间为t秒，当图中出现等腰三角形个数最多时(不再添加辅助线)，t的值为(　　)

A．3.6 B．4 C．5 D．6

第4题图 第5题图

5．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2016时，点P所在位置为________；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为________(用含自然数n的式子表示)．

6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.

(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间，四边形AQCP是菱形？

(2)在(1)的条件下，分别求出菱形AQCP的周长、面积．

二、图形的变化问题

7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积C

A．由小变大

B．由大变小

C．始终不变

D．先由大变小，后由小变大

8．(临沂中考)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.

(1)请判断：FG与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；

(2)如图②，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；

(3)如图③，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

类型三　四边形间的综合性问题

9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是(　　)

A．50° B．55° C．70° D．75°

第9题图 第10题图

10．(南京中考)如图，菱形ABCD的面积为120cm²，正方形AECF的面积为50cm²，则菱形的边长为________cm.

11．★如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC.

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？并说明理由；

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？并说明理由；

(4)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？

参考答案与解析

1．C　2.C　3.　4.C　5.点A　4n＋3

6．解：(1)可能．∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC.∵DP＝BQ，∴AP＝CQ，∴四边形AQCP为平行四边形．设经过xs后，四边形AQCP是菱形，∴AP＝AQ.由勾股定理得AB²＋BQ²＝AQ²，即16＋x²＝(8－x)²，解得x＝3，即经过3s后四边形AQCP是菱形．

(2)由(1)得菱形的边长为AP＝8－x＝5(cm)，∴菱形AQCP的周长为5×4＝20(cm)，菱形AQCP的面积为5×4＝20(cm²)．

7. C　解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S_△BOM＝S_△CON，∴S_{四边形BNOM}＝S_△BOC＝S_{正方形ABCD}，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.

8．解：(1)FG＝CE　FG∥CE

(2)结论仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.又∵CE＝BF，∴△FBC≌△ECD，∴CF＝DE，∠FCB＝∠EDC.∵EG＝DE，∴CF＝GE.∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠FCB＋∠DEC＝90°，∴DE⊥CF.∵EG⊥DE，∴CF∥EG，∴四边形GECF是平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.

(3)结论仍然成立．解析：∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠CBF＝90°.∵CE＝BF，∴△DCE≌△CBF，∴DE＝CF，∠CDE＝∠BCF.又∵∠DEC＋∠CEG＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CEG＝∠CDE＝∠BCF，∴FC∥EG.∵EG＝DE，∴EG＝CF，∴四边形ABCD为平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.

9．C

10．13　解析：连接AC.因为正方形AECF的面积为50cm²，所以AC＝＝10(cm)．因为菱形ABCD的面积为120cm²，所以BD＝＝24(cm)，所以菱形的边长为＝13(cm)．

11．解：(1)∵△ABD，△BCE，△FAC是等边三角形，∴AB＝DB，BC＝BE，AC＝AF，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC.在△BDE和△BAC中，DB＝AB，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC，∴△DBE≌△ABC(SAS)，∴DE＝AC，∴DE＝AF.同理可证DA＝EF，∴四边形AFED是平行四边形．

(2)当∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形．理由如下：∵△ABD，△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠CAF＝60°，∠DAF＝360°－∠DAB－∠BAC－∠CAF＝360°－60°－150°－60°＝90°，∴▱AFED是矩形．

(3)当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形AFED是正方形．理由如下：由(2)可知，当∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形．∵AB＝AC，∴AD＝AF，∴矩形AFED是正方形．

(4)当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D，A，F三点在同一条直线上，以点A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．