【330770】解题技巧专题：中点问题

解题技巧专题：中点问题

——遇中点，定思路，一点即中

类型一　遇两边中点利用(或构造)中位线

1．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若BC＝6，则DF的长是(　　)

A．3 B．2 C. D．4

第1题图 第2题图

2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为(　　)

A．8 B．6 C．4 D．5

3．★如图，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC.求证：EF＝BF.

类型二　直角三角形中，已知斜边中点，构造斜边上的中线

4．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点．若∠BEC＝80°，则∠GHE的度数为（ ）

A．5° B．10° C．20° D．30°

第4题图 第6题图

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝________．

类型三　中点四边形与特殊平行四边形

6．【阅读理解】O点是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并把AB，OB，OC，CA的中点D，E，F，G依次连接起来，则D，E，F，G构成中点四边形．

如图，当O点在△ABC内时，由三角形中位线定理易证中点四边形DEFG是平行四边形．

【探究】

(1)当O点移动到△ABC外时，上述的结论是否成立？画出图形并说明理由；

(2)当中点四边形DEFG为矩形时，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

【猜想】(直接写出结论)【方法17③】

(1)对角线____________的四边形的中点四边形是矩形；

(2)对角线____________的四边形的中点四边形是菱形；

(3)对角线__________________的四边形的中点四边形是正方形．

参考答案与解析

1．A

2．D　解析：连接DN.∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN.当点N与点B重合时，DN的长度最长，即EF的长度最长，此时EF＝BD＝＝＝5.故选D.

3．证明：取CF的中点G，连接DG.∵D为BC的中点，G为CF的中点，∴DG∥BF，DG＝BF.又∵AF＝AC，∴AF＝CF＝FG，∴F为AG的中点．又∵E为AD的中点，∴EF＝DG，∴EF＝BF.

4．B　解析：连接AH，CH.∵∠BCD＝∠BAD＝90°，点H是BD的中点，∴AH＝BD，CH＝BD，∴AH＝CH.∵点G是AC的中点，∴HG⊥AC，∴∠HGE＝90°.又∵∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝10°.故选B.

5．3　解析：连接CM.∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC.又∵CD＝BD，∴CD＝BC，∴MN＝CD，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM.∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3，∴DN＝3.

6. 解：【探究】(1)成立．所画图形如图所示，理由如下：∵D，G是AB，AC的中点，∴DG∥BC，∴DG＝BC.同理可得EF∥BC，EF＝BC，∴DG∥EF，DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形．

(2)OA⊥BC.理由如下：连接OA.同(1)可得四边形DEFG是平行四边形．∵DE∥OA，EF∥BC，OA⊥BC，∴DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴四边形DEFG是矩形．

【猜想】(1)互相垂直　(2)相等　(3)互相垂直且相等