【330767】解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

类型一　特殊四边形中求最值、定值问题

一、利用对称性求最值【方法10】

1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．

第1题图 第2题图

2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．

二、利用面积法求定值

3. 如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．

【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和

(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．

变式题(1)图 变式题(2)图

(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．

类型二　正方形中利用旋转性解题

3. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．

5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S_△AEF＝S_△ABE＋S_△ADF.

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.

求证：BP＋CP＝OP.

参考答案与解析

1. 　解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE.当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝5.∵S_菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DE，∴×8×6＝5·DE，∴DE＝.∴DP＋PQ的最小值为.

2．6　解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.

3. 　解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝AC＝5.如图，连接OP，∵S_△OBP＋S_△OCP＝S_△OBC，∴＋＝S_△OBC，∴＋＝S_△OBC.∵S_△OBC＝S_矩形ABCD＝AB·BC＝×6×8＝12，∴＋＝12，∴PE＋PF＝.

【变式题】(1)　解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S_△ABD＝.连接AP，则S_△ABD＝S_△ABP＋S_△ADP，∴×10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝.

(2)　解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S_△BPE＋S_△BPC＝S_△BEC，∴＋＝.又∵BE＝BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝，∴PM＋PN＝EH＝.

4．3

5．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S_△AEF＝S_△AEH＝S_△ABE＋S_△ABH＝S_△ABE＋S_△ADF.

6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.