【330752】角平分线的性质

湘教版8年级下册数学1.4.1角平分线的性质同步练习

一、选择题(本大题共8小题)

1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA

2. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（　　）

A、PD＝PE　 　B、OD＝OE　 　C、∠DPO＝∠EPO　 　D、PD＝OD

3. 在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（　　）

A．10 B．20 C．15 D．25

4. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）

A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定

5. 如图所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 （ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

6. 下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

7. 如图，OP平分 ， ， ，垂足分 别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A. B. 平分 C. D. 垂直平分

8. 如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交 点，其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③

二、填空题(本大题共6小题)

9.如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .

10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．

11. 如图 ，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为　 　．

12. 如图所示在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB=6厘米，则△DEB的周长是　　　　　　厘米．

13. 如图，AD∥BC，∠ABC的角平分 线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB 于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为　 　．

14. 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S_△ABO：S_△BCO：S_△CAO =　 　．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，

BD＝CD，求证：∠B＝∠C.

16.如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．

17. 如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．

（1）求证：∠PCD=∠PDC；

（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．

18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：AC=AE；

（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

19.如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．

（1）如图1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；（不要求写证明）

（2 ）如图1-110（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. C

分析：直接根据角平分线的性质进行解答即可．

解：根据尺规作图中相等的条件可得到答案为C.

2. D

分析：直接根据角平分线的性质进行解答即可．

解：解：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴PD=PE,∴Rt△POE≌Rt△POD, ∴PD＝PE, ∠DPO＝∠EPO, OD＝OE.故选D。

3. C

分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．

解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵点D到AB的距离为6，

∴DE=6，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，

∴DC=DE=6，

∵BD：DC=3：2，

∴BD= ×3=9，

∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．

4.C

分析：根据三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．

解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，

∴AO平分∠BAC，

∵OD⊥AB，OE⊥AC，

∴OD=OE．

故选C．

5. D

分析：易证∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°

解：根据已知条件可证明∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°故选D。

6. B

分析：逐个对上列说法进行分析即可得到。

解：①是在角平分线上才可以故选项错误。②正确；③根据定义判断正确；④仅到角的两边距离相等，错误。选B.

7. D

分析：本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．

解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB，∴△OPA≌△OPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A、B、C项正确，设PO与AB相交于E，∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE，∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直AB，而不能得到AB平分OP.故选D。

8. A

分析：结合已知条件进行逐个分析判断。

解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，

∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；

点P在∠CBE的平分线上，故②正确；

点P在∠BCD的平分线上，故③正确；

点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，

综上所述，正确的是①②③④．故选A.

二、填空题(本大题共6小题)

9.分析：由已知条件，根据角平分线性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．可得PC=PD．

解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD（角平分线性质）．

故填PC=PD．

10.分析：本题考查的是角平分线的性质

解：根据角平分线的性质即可得到结果.

∵∠A＝9∴0°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，

∴点D到BC的距离为2cm.

11. 分析：首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．

解：过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3．

12. 分析：根据角平分线的性质即可证得AC=AE，CD=DE，据此即可证得△DEB的周长等于AB的长．

解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°，

∴CD=DE，DA平分∠EDC．

∴AC=AE，

∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE

又∵BC=AC

∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米．

故答案是：6．

13. 分析：根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．

解：过点P作MN⊥AD，

∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，

∴PM=PE=2，PE=PN=2，

∴MN=2+2=4．

故答案为：4．

14. 分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S_△ABO：S_△BCO：S_△CAO的值．

解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，

∴OD=OE=OF，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，

∴S_△ABO：S_△BCO：S_△CAO=（ AB•OD）：（ BC•OF）：（ AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．

故答案为：4：5：6．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 分析：由角平分线的性质可得DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B=∠C．

证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），

∴∠B＝∠C．

16.

分析：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，求出PM=PN，∠PME=∠MPE=∠NPF，证△PME≌△PNF即可．

解：PE=PF，

理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，

则∠PME=∠PNF=90°，

∵OP平分∠AOB，

∴PM=PN，

∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，

∴∠MPN=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠MPE=∠FPN，

在△PEM和△PFN中

∴△PEM≌△PFN，

∴PE=PF．

17. 分析：（1）由角平分线的性质易得PC=PD，根据等边对等角即可得出∠PCD=∠PDC；
（2）易证△POC≌△POD，则OC=OD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得OP垂直平分CD．

解：（1）∠PCD=∠PDC．

理由：∵OP是∠AOB的平分线，

且PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

∴∠PCD=∠PDC；

（2）OP是CD的垂直平分线．

理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，

在Rt△POC和Rt△POD中，

，

∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），

∴OC=OD，

由PC=PD，OC =OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，

从而OP是线段CD的垂直平分线．

18. 分析：根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD即可．

解：（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，

∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，

在△ACD和△ AED中 ∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；

（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，

∴∠B=∠DAB=∠CAD，

∵∠C=90°，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°，

∵CD=DE=4，∠DEB=90°，

∴BD=2DE=8，

由勾股定理得：BE= =4 ．

19.分析：根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形确定，它们关于OP对称．

（1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解；

（2）根据图1的作法，在AC上截取AG=AF，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；

（3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．

解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA =OB，再在OP上任取一点D，连接AD，

BD，则△OAD与△OBD全等，如图l一114（1）所示．（1）FE与FD之间的数
量关系为FE=FD．

（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD．由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．证法2：如图1—114（3）所示，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AC于点I．因为∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， 所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，FG=FH可证AEGF≌△DHF，所以FE=FD