【324244】2024八年级数学下册 专题6.19 反比例函数和一次函数综合（巩固篇）（新版）浙教版

专题6.19 反比例函数和一次函数综合（巩固篇）

一、单选题

1．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ 　 ）

A． B． C． D．

2．在同一直角坐标系中，函数y＝－ 与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（     ）

A． B． C． D．

3．若反比例函数 图象上有两个点 ， ，若 ，则 不经过第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

4．已知A( ， )，B( ， )是反比例函数 ( ≠0)图像上的两个点，当 时， ，那么一次函数 的图像不经过(   )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．如图，直线 与双曲线 交于A、 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解为（    ）

A． B． 或

C． 或 D． 或

6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，则代数式 的值为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像相交于A、B两点，点A的横坐标为2，当 时，x取值范围是(   )

A． 或 B． C． D．

8．在平面直角坐标系 中，已知反比例函数 满足：当 时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图像与直线 都经过点P，且 ，则实数k=（   ）

A． B． C． D．

9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流 与电阻 成反比例函数的图象，该图象经过点 ．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

1. 当 时，

B．I与R的函数关系式是

C．当 时，

D．当 时，I的取值范围是

10．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（    ）

A．4月份的利润为50万元

B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

D．9月份该厂利润达到200万元

11．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（    ）

A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟

12．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温 （℃）与通电时间 成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．水温从20℃加热到100℃，需要

B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是

C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水

D．水温不低于30℃的时间为

13．在平面直角坐标系中，有两个点 ， ，若反比例函数 的图象与线段 有交点，则 的值可能是（    ）

A． B．7 C．13 D．2023

14．如图，正比例函数y＝mx（m＞0）与反比例函数 的图象交于A，B两点， 轴，交y轴于点C，在射线BC上取点D，且BD＝3BC，若 ，则k的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

15．线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y 的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　）

A．6 B．5 C．9 D．12

16．如图，直线y=x+4与双曲线y=﹣ 相交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为（   ）

A．（0， ） B．（0， ） C．（0，﹣ ） D．（0，﹣ ）

二、填空题

17．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ，则不等式 的解集是___________．

18．一次函数 分别与 轴、 轴交于A、 两点，点 为反比例函数 （ ）图象上一点，过点 作 轴的垂线交直线 交于 ，作 交直线 于 若 ，则 的值为______．

19．如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当 时，x的取值范围是 _________ ．              

20．正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________

21．在同一平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数 交于A、B两点，O为坐标原点，则 的面积=_________．

22．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC， ，则反比例函数的表达式为 _________．

23．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与双曲线 交于 、 两点，若 ，则k的值为_____．

24．如图，点B和点C是反比例函数 （ ）在第一象限上的点，过点B的直线 与x轴交于点A， 轴，垂足为D， 与 交于点E， ， ．则 ___________．

25．某品牌热水器中，原有水的温度为 ，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温 与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到 时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温 与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至 时，热水器又自动以相同的功率加热至 ……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则

（1）当 时，水温 开机时间x分钟的函数表达式______；

（2）当水温为 时， ______；

（3）通电 分钟时，热水器中水的温度y约为______．

26．如图，反比例函数 （k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D， ，则k＝__．

27．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位： ）与时间x（单位： ）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为 ，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为 ．教室空气中的药物浓度不低于于 时，对杀灭病毒有效．当 时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为_______min

28．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为______字/min．

29．在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 （其中k为常数且 ），则称点 为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数 的图象上运动，且点A是点B的“ 关联点”，当线段 最短时，点B的坐标为_____．

30．如图，已知点 ， ， 均在直线 上，点 ， ， 均在双曲线 上，并且满足： 轴， 轴， 轴， 轴， ， 轴， 轴，记点 的横坐标为 为正整数 若 ，则 的坐标为______．

31．如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数 的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点 ， 的直线与曲线l相交于点C、D，则 的面积为_______．

32．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点 在直线 上，点 的坐标为 ．将菱形 沿直线 平移，当点 ， 同时落在反比例函数 的图象上时，菱形沿直线 平移的距离为_________．

三、解答题

33．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，

1. 求函数 的表达式；

2. 根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；

3. 求 的面积．

34．反比例函数 的图象如图所示，一次函数 的图象与 的图象交于点 ， ．

(1)求一次函数表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

(2)根据图象直接写出不等式 的解集；

(3)一次函数 的图象与 轴交于点 ，连接 ，求 的面积．

35．如图， ， 是一次函数 与反比例函数 图象的两个交点， 轴于点C， 轴于点D．

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时， ？

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段 上一点，连接 ，若 和 面积相等，求点P的坐标．

36．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，与y轴交于点B，与反比例函数 的图象交于点 ，过B作 轴，交反比例函数 的图象于点D，连接 ．

(1) ________， ________，不等式 的解集是________；

(2)求 的面积．

37．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 微克 毫升 与服药时间 小时之间函数关系如图所示 当 时， 与 成反比例 ．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 与 之间的函数关系式．

(2)问血液中药物浓度不低于 微克 毫升的持续时间多少小时？

38．某超市在40天内试销一种成本为40元/件的新商品．在前19天，每天的销售单价都是80元/件；后21天改变了销售措施，规定“每天的销售单价 （元）由基础价格、浮动价格两部分构成，其中基础价格保持不变，浮动价格与 （第 天）成反比”．试销完毕后，通过统计整理还发现．试销售期间日销量 （件）是天数 （天）的一次函数，并且得到了如下表中的数据．

第 天	25	30
日销量 （件）	70	60
日销售单价 （元）	85	77.5

1. 求试销售期间日销量 （件）与 （天）的函数关系式；

2. 求后21天 每天的销售单价 （元）与 （天）的函数关系式；

3. 设第 天的利润为 （元），则这40天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

39．已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点 ．

(1)求反比例函数 的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；

(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；

(3)在 的直线上是否存在一点P，使 的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

40．如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于 两点．

1. 求一次函数及反比例函数的解析式：

2. 直接写出关于x的不等式 的解集；

3. 在x轴上是否存在点P，使得 的周长最小？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

参考答案

1．B

【分析】根据k的取值范围，分别讨论 和 时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．

解：①当 时，一次函数 经过一、三、四象限，反比例函数的 （k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，

②当 时，一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数的 （k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．

一次函数 ：

①当 ， 时，一次函数 经过一、二、三象限；

②当 ， 时，一次函数 经过一、三、四象限；

③当 ， 时，一次函数 经过一、二、四象限；

④当 ， 时，一次函数 经过二、三、四象限；

反比例函数的 （k≠0），

①当 时，反比例函数的 （k≠0）的图象经过一、三象限；

②当 时，反比例函数的 （k≠0）的图象经过二、四象限．

2．B

【分析】本题可先由反比例函数 图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．

解：A、由函数 的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．

B、由函数 的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．

C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．

D、由函数 的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．

3．C

【分析】首先根据题意得出当x＜0，y随x的增大而增大，即可确定反比例函数y= （x＜0）中k的符号，然后再确定一次函数y=kx-k的图象所在象限．

解：∵反比例函数y= （x＜0）图象上有两个点（x₁，y₁），（x₂，y₂），则（x₁-x₂）（y₁-y₂）＞0，

∴当x＜0，y随x的增大而增大，

∴k＜0，

∴-k＞0，

∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限，

∴不经过第三象限，

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k的符号．

4．C

【分析】根据反比例函数的图像与k的关系：当 时，函数在第一三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当 时，函数在二四象限，y随x增大而增大，结合题意确定反比例系数k的取值范围，然后根据一次函数图像的特征确定函数 的图像不经过的象限即可．

解：根据反比例函数的图像与性质，由当 时， ，

可知函数的图像在第一、三象限，即 ，

∴ ，

∴ 的图像在第一、二、四象限，不经过第三象限．

故选：C．

【点拨】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是明确反比例函数的图像与k的关系．

5．C

【分析】根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移 个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量 的取值范围即可．

解：解：由 ，得， ，

所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移 个单位得到，

直线向下平移 个单位的图象如图所示，交点 的横坐标为 ，交点 的横坐标为 ，

当 或 时，双曲线图象在直线图象上方，

所以，不等式 的解是： 或 ．

故选C

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移 个单位的直线的交点有关是解题的关键．

6．A

【分析】根据反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，得到 ，利用整体思想代入 ，求值即可．

解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，

∴ ，

∴ ，

∴

；

故选A．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．

7．C

【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点的横坐标，再结合函数图像即可得出答案．

解： 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，

点B的横坐标为 ，

由函数图象可知，当 时，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方，且位于 轴负半轴，

当 时，x取值范围是 ，

故选C．

【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握函数的图像和性质是解题关键．

8．B

【分析】设 ，根据题意，得 ，结合当 时，y随x的增大而减小，判定 ，计算取舍即可．

解：设 ，根据题意，得 ，

所以 ，

解得 ，

因为当 时，y随x的增大而减小，

所以 ，

所以 舍去，

故选B．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，勾股定理，完全平方公式的应用，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键．

9．D

【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．

解：设I与R的函数关系式是 ，

∵该图象经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴I与R的函数关系式是 ，故选项B不符合题意；

当 时， ，当 时，

∵反比例函数 ，I随R的增大而减小，

当 时， ，当 时， ，故选项A，C不符合题意；

∵ 时， ，当 时， ，

∴当 时， 的取值范围是 ，故D符合题意；

故选：D．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．

10．C

【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．

解：A、设反比例函数的解析式为 ，

把(1,200)代入得，k＝200，

∴反比例函数的解析式为： ，

当x＝4时，y＝50，

∴4月份的利润为50万元，正确意；

B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；

C、当y＝100时，则 ，

解得：x＝2，

则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．

D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，

则 ，解得： ，

故一次函数解析式为：y＝30x−70，

故y＝200时，200＝30x−70，

解得：x＝9，

则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．

故选：C．

【点拨】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．

11．C

【分析】先利用待定系数法求出 和 时， 关于 的函数关系式，再求出 时， 的值，然后结合函数图象即可得出答案．

解：当 时，设 ，

将点 代入 得： ，解得 ，

则此时 ，

当 时，设 ，

将点 代入 得： ，

则此时 ，

综上， ，

当 时， ，解得 ，

当 时， ，解得 ，

则当 时， ，

所以此次消毒的有效时间是 （分钟），

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．

12．D

【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为 ＝8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10 min，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．

解：∵开机加热时每分钟上升10℃，

∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： ＝8min，

故A选项不合题意；

由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，

设反比例函数解析式为 ，

代入点（8，100）可得，k＝800，

∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ，

故B选项不合题意；

令y＝20，则 ，

∴x＝40，

即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次，

从8点到9：30，所用时间为90 min，

而水温加热到100℃，仅需要8 min，

故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min，

令x＝10，则 ℃＞40℃，

故C选项不符合题意；

水温从20℃加热到30℃所需要时间为： min，

令y＝30，则 ，

∴ ，

∴水温不低于30℃的时间为 min，

故D选项符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．

13．B

【分析】当反比例函数 的图象过点A时，求出k的值，当反比例函数 的图象过点B时，求出k的值，介于二者之间的值即为使反比例函数 的图象与线段 有交点的k的值．

解：当反比例函数 的图象过点A时，将 代入解析式得， ，此时 ；

当反比例函数 的图象过点B时，将 代入解析式得， ，此时 ；

∴ 时，反比例函数 的图象与线段 有交点，

∴k的值可以为7，故B正确．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意求出k的取值范围．

14．B

【分析】表示出 ， ，求出A到直线BD的距离为： ，以及 ，利用 求出k即可．

解：由图可知： ，

联立 ， 可得： ，解得： ，

∴ ， ，

∴A到直线BD的距离为： ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，解得： ，

∵ ，

∴ ，

故选：B

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合，点到坐标的距离，三角形面积，解题的关键是求出A、B坐标，表示出三角形面积．

15．B

【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以先求得点 、 的坐标，再根据题意，可以得到点 和 的坐标，从而可以计算出四边形 的面积．

解： 线段 是直线 的一部分，点 的纵坐标是6，

，

解得 ，

点 的坐标为 ，

曲线 是双曲线 的一部分，点 的坐标为 ，

，

解得 ，

双曲线 ，

点 在该双曲线上，点 的横坐标是6，

，

即点 的坐标为 ，

点 ， 均在该组波浪线上， ， ，

， ，

， ， ，

四边形 的面积是： ，

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是求出 、 的值．

16．B

【分析】解方程组求出A、B的坐标，得到A′的坐标，求出直线BA′的解析式，然后求出直线BA′与y轴的交点即可．

解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P，则点P即为所求，

，

解得， ， ，

则点A的坐标为（-1，3），点B的坐标为（-3，1），

∴点A′的坐标为（1，3），

设直线BA′的解析式为：y=kx+b，

，

解得， ，

∴直线BA′的解析式为：y= x+ ，

当x=0时，y= ，

∴点P的坐标为（0， ），

故选B．

【点拨】本题考查的是一次函数的解析式、反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及轴对称-最短路径问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．

17． 或

【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．

解：将点 代入反比例函数 得： ，

解得： ，

∴反比例函数为 ，

将点 代入 得：

∴点 的坐标是 ，

∴要使得不等式 ，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点 ， 可得： 或

故答案为： 或

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．

18．

【分析】设 ，则 ， ，构建方程求出 的值即可．

解：设 ．

过点 作 轴的垂线交直线 交于 ，作 交直线 于 ，

∴PC 轴, 轴，

点的纵坐标为 ， 点的横坐标为 ，

一次函数 ，

，

，

， ，

，

，

，

．

故答案为： ．

当双曲线在第四象限时，同理可得

故答案为：

注：在此两种情况中，P点位置可能不同，形成图形也有所不同，但是解题方法和结论不变，故不再一一列举．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数构建方程，属于中考填空题中的压轴题．

19．x＜-2或0＜x＜2

【分析】根据双曲线的对称性得到点A的横坐标为-2，根据图像即可求出当 时，x的取值范围为x＜-2或0＜x＜2．

解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为2，

∴点A的横坐标为-2，

∴当 时，x＜-2或0＜x＜2．

故答案为：x＜-2或0＜x＜2

【点拨】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点A的横坐标是解题关键．

20． 或

【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可．

解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点 ，即正比例函数为

反比例函数为

当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即 ＞ ，解得 或 ．

故答案是 或 ．

【点拨】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键．

21．4

【分析】联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为 、 点的坐标，由 即可求得面积．

解：由题意： ，解得： 或 ，

∴ ， ，

当 时， ，当 时， ，

∴ ， ，即 ，

∴

，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．

22．

【分析】过点C作 平行于x轴，延长 交 于点D，设 ，那么 ， ，因为 ，所以 ，即可得到反比例函数的表达式．

解：过点C作 平行于x轴，延长 交 于点D，如图所示：

设 ，那么 ， ，因为 ，所以 ，

那么 ，即 ，所以反比例函数的表达式 ，

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的综合内容，设适当的未知数列出面积的式子是解题的关键．

23．

【分析】首先求得 和 的坐标，则 和 是直线 和反比例函数的交点，以及 和 关于 对称，即可利用 表示出 的长，再由 即可求解．

解：在 中，令 ，解得 ，则 的坐标是 ；

令 ，解得： ，则 的坐标是 ，则 ．

，

作 于点 ．

则 ，

直线 与反比例函数的交点是 、 ，则根据题意得： ，

即 ，

解得： ， ，

则 ， ，

， ， ，

，

是 的角平分线，

，

，

解得：

故答案是： ．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确理解 和 关于 对称是关键．

24．4

【分析】先求出 ，进而依次求出 ， ， ，则可得反比例函数解析式 ，联立 且 ，可得 ，问题随之得解．

解：∵当 时， ，即 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

当 时， ，即 ，

∵ 轴，

∴ ，即： ，

∵ ，

∴ ，即 ，

∵点C是反比例函数 （ ）在第一象限上的点，

∴反比例函数 （ ），

联立 且 ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了一次函数以反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．

25．              

【分析】（1）设直线解析式为 ，结合图像点 ， 代入即可得到答案；

（2）设反比例函数解析式为 ，结合图像点 代入求出k，将 代入即可得到答案；

（3）根据（1）（2）解析式得到从 ℃加热到 ℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案．

解：（1）设直线解析式为 ，将点 ， 代入可得，

，解得 ，

故答案为： ；

（2）设反比例函数解析式为 ，将点 代入可得，

，

∴ ，

当 时，

，解得 ，

故答案为 ；

（3）当 时， ，解得 ，

∴从 ℃加热到 ℃，需要 分钟， ， ， ，将 代入， ，可得 ．

【点拨】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．

26．-2

【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得 ，最后根据k的几何意义可得答案．

解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，

∴点A和点B关于原点对称，

∴OA＝OB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（AAS），

∵ ，

∴ ，

∵反比例函数图像位于第二象限，

∴k＝-2．

故答案为：-2．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键．

27．8

【分析】根据 的解析式可求出点A的坐标，进而可得熏蒸完后的关系式，令 ，结合函数的性质可得有效时间．

解：当 时， ，

，

设熏蒸完后函数的关系式为： ，

，

∴熏蒸完后函数的关系式为 ，

∵药物浓度不低于 ，

∴当 时， ，

当 时， ，

∴有效时长为： ，

故答案为：8．

【点拨】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型．

28．200

【分析】根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可．

解：设 ，

把 代入 ，得 ，

∴ ，

∴ ，

当 时， ，

∵ ，

在第一象限内，y随x的增大而减小，

∴小明录入文字的速度至少为200字/min．

故答案为：200．

【点拨】此题考查了是反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

29． 或

【分析】由点A是点B的“ 关联点”，可设点B坐标，表示出点A坐标，由点A在函数 的图象上，就得到点B在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M、N，过Q作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段 ，此时 最小，由 可得出点B的坐标．

解：设 ，

∵点A是点B的“ 关联点”，

∴

∵点A在函数 的图象上，

∴ ，

即： 或 ，

当点B在直线 上时，

设直线 与x轴、y轴相交于点M、N，则 、 ，

当 时，线段 最短，此时 ，

由 ，可得点 ；

设直线 时，同理可得点 ；

故答案为： 或 ．

【点拨】考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．

30．

【分析】首先根据 ，求出 ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ， ， ，每 个数一个循环，分别是 、 、 ；然后用 除以 ，根据商和余数的情况，判断出 是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．

解： ，

的坐标是 ，

的坐标是 ，

即 ，

，

的坐标是 ，

的坐标是 ，

即 ，

，

的坐标是 ，

的坐标是 ，

即 ，

，

的坐标是 ，

的坐标是 ，

即 ，

，

， ， ， ， ， ，每 个数一个循环，分别是 、 、 ，

，

．

故答案为： ．

【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 图象上的点 的横纵坐标的积是定值 ，即 ； 双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； 在 图像中任取一点，过这一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．

31．8

【分析】由题意得点 ， ，可知 ，建立如图新的坐标系（ 为 轴， 为 轴，利用方程组求出D、C的坐标，根据 计算即可．

解：∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

如图所示，建立新的坐标系（ 为 轴， 为 轴）．  

在新的坐标系中， ，

∴直线 解析式为 ，

过点B作 轴于E，

∴ ，

∴ ，

∵将反比例函数 的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，

∴曲线l在 中的解析式为 ，

联立 ，

解得 或 ，

∴在 中，

∴ ，

故答案为：8．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确建立先的坐标系是解题的关键．

32．

【分析】设菱形沿直线y＝x平移t个单位，则平移后B坐标为（2+ t，1+ t），代入反比例函数 得t＝ 或t＝﹣4 （舍去），即菱形沿直线y＝x平移 个单位，B落在反比例函数 的图象上，由菱形和反比例函数 的图象都关于直线y＝x对称可知，此时D也落在反比例函数 的图象上，

解：设菱形沿直线y＝x平移t个单位，B，D同时落在反比例函数 的图象上，

则相当于菱形向右平移 t个单位，再向上平移 t个单位，

∴平移后B坐标为（2+ t，1+ t），

代入反比例函数 得1+ t＝ ，

解得t＝ 或t＝﹣4 （舍去），即菱形沿直线y＝x平移 个单位，B落在反比例函数 的图象上，

由菱形和反比例函数 的图象都关于直线y＝x对称可知，此时D也落在反比例函数 的图象上，

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数图象及应用，涉及反比例函数图象上点坐标的特征、菱形性质等知识，解题的关键是用含t的代数式表达平移后B的坐标．

33．(1) ；(2) 或者 ；(3)

【分析】（1）先把 代入 得到 ，据反比例函数 的图象过点 利用待定系数法求出k即可；

（2）根据（1）中 求得出B点坐标，结合 以及函数图像进而求得结论；

（3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将 分割为 ，求出即可．

（1）解：A、B点是一次函数 与反比例函数 的交点，

∴A，B点在一次函数 上，

∴当 时， ；当 时 ，

∴ ， ，

将A点坐标代入反比例函数 ，∴ ，即 ，

即反比例函数的解析式为： ．

（2）解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方，

∵ 、 ，

∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为： 或者 ．

（3）解：设一次函数 与x轴的交点为 ，

．

【点拨】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出 是解题关键．

34．(1) ，见分析；(2) 或 ；(3)

【分析】（1）将A， 两坐标先代入反比例函数求出 ， ，然后由待定系数法求函数解析式．

（2）根据直线在曲线下方时 的取值范围求解．

（3）由直线解析式求得 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．

（1）解： ， 在反比例函数 的图象上，

，

解得 ， ，

， ，

把 ， 代入 中得 ，

解得 ，

一次函数解析式为 ．

画出函数 图象如图；

（2）解：由图象可得当 或 时，直线 在反比例函数 图象上方，

的解集为 或 ．

（3）解：把 代入得 ，

点 坐标为 ，

．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图法求不等式解集，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用图法求不等式解集．

35．(1) ；(2) ， ；(3)

【分析】（1）观察函数图象得到当 时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即此时 ；

（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入反比例函数解析式中可计算出m的值；

（3）设 ，先求出 ，再由 和 面积相等，得到 ，解方程即可得到答案．

（1）解：当 ，即： ，

∴此时一次函数 的图象在反比例函数图象 的上面，

∵ ， ，

∴由函数图象可知当 时， ；

（2）解：∵一次函数 过 ， ，

∴ ，

解得 ，

∴一次函数解析式为； ，

∵反比例函数 图象过 ，

∴ ；

（3）设 ，

∵ 轴， 轴， ， ，

∴ ，

∵ 和 面积相等，

∴ ，

∴ ，

解得 ，

∴

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

36．(1)4，6， ；(2)

【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图象法求出不等式的解集即可；

（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据 进行求解即可．

（1）解：把 代入到直线 中得： ，

∴ ，

∴直线解析式为 ，

把点 代入到直线 中得： ，

∴ ，

∴ ，

把 代入到反比例函数 中得： ，

∴ ；

由函数图象可知，当 时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴不等式 的解集是 ，

故答案为：4，6， ；

（2）解：由（1）得反比例函数解析式为

在 中，令 ，则 ，

∴ ，

在 中，令 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴

．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．

37．(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 ，下降阶段的函数关系式为 ；(2)血液中药物浓度不低于 微克 毫升的持续时间 小时

【分析】（1）分别利用待定系数法求出正比例函数以及反比例函数解析式即可；

（2）利用 分别得出 的值，进而得出答案．

（1）解：当 时，设直线解析式为： ，

将 代入得： ，

解得： ，

故直线解析式为： ，

当 时，设反比例函数解析式为： ，

将 代入得： ，

解得： ，

故反比例函数解析式为： ；

因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 ，

下降阶段的函数关系式为 ．

（2）解：当 ，则 ，

解得： ，

当 ，则 ，

解得： ，

小时 ，

血液中药物浓度不低于 微克 毫升的持续时间 小时．

【点拨】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．

38．(1) ；(2) ；(3)这40天中第1天获得的利润最大；最大利润是多少 元

【分析】（1）根据题意，设 ，由表中数据，将 代入表达式，解二元一次方程组即可得到试销售期间日销量 （件）与 （天）的函数关系式；

（2）根据题意，设 ，由表中数据，将 代入表达式，解方程组即可得到后21天 每天的销售单价 （元）与 （天）的函数关系式；

（3）对于前19天，每件的利润是 元；对于后21天 ，每件的利润是 元；再根据试销售期间日销量 （件）与 （天）的函数关系式为 ，从而得到第 天的利润为 （元）的表达式为 ，根据一次函数及反比例函数的图像与性质求最值即可得到答案．

（1）解： 试销售期间日销量 （件）是天数 （天）的一次函数，

设 ，将 代入表达式，则

，解得 ，

试销售期间日销量 （件）与 （天）的函数关系式为 ；

（2）解： 后21天改变了销售措施，规定“每天的销售单价 （元）由基础价格、浮动价格两部分构成，其中基础价格保持不变，浮动价格与 （第 天）成反比”，

设 ，将 代入表达式，则

，解得 ，

后21天 每天的销售单价 （元）与 （天）的函数关系式为 ；

（3）解：根据题意，分两种情况：

前19天，每件的利润是 元，则 ；

后21天，每件的利润是 元，则 ；

综上所述，第 天的利润为 （元）的表达式为 ，

当 时， ，由 得到 随着 值的增大而减小，故当 时，有最大利润为 元；

当 时， ，由 得到 随着 值的增大而减小，故当 时，有最大利润为 元；

，

这40天中第1天获得的利润最大；最大利润是多少 元．

【点拨】本题考查一次函数、反比例函数解决实际应用题，涉及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式、一次函数及反比例函数图像与性质求最大利润等，读懂题意，掌握待定系数法求函数表达式，掌握利润 单件商品利润 销售量是解决问题的关键．

39．(1) ，点B的坐标 ；(2)图见分析， 或 ；(3)存在，

（1）解：∵把点 代入 ，

∴ ，解得： ，

∴点 ，

∵把点 代入 ，

∴ ，解得： ，

∴反比例函数的解析式 ，

∵正比例函数 的图象与反比例函数 的图象的交点关于原点对称，且两图象的一个交点 ．

∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标 ；

（2）解：画图如下：

观察图象得：当 或 时，反比例函数的图象位于正比例函数的下方，

∴使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围为 或 ；

（3）解：存在

作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，并延长 ，交直线 于点P，连接 ，在直线 上任取一点D，连接 ，则 ，

∵ ，

∵ ，

∴ ，

当B、C、P共线时， 的值最大，

设直线 的解析式为 ，

把 和 分别代入 中得：

，解得 ，

∴直线 的解析式为 ，

当 时， ，解得 ，

∴ ．

【点拨】本题主要考查对用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．

40．(1) ， ；(2) ；(3)存在，

【分析】（1）将 两点，代入反比例函数 ，即可得解；

（2）直接利用图像求解即可；不等式 表示函数 图像在反比例函数 图像上方部分的自变量的范围；

（3）作点B关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点P，再求解即可；

解：（1）∵ 两点在反比例函数 的图象上，

∴ ．

∴ ，反比例函数的解析式为 ．

将 代入 ，得 ，解得

∴一次函数的解析式为 ．

（2）不等式 表示函数 图像在反比例函数 图像上方部分的自变量的范围，结合图形得到：

（3）存在．如图，作点B关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点P，此时 的周长最小．

．

设直线 的解析式为 ．

将 代入 ，

得 解得

∴直线 的解析式为 ．      

令 ，则 ．

∴点P的坐标为 ．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、点坐标与轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．