【330498】第1章复习1

《直角三角形》复习

一．选择题（共8小题）

1．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（　　）

A ．140° B．160° C．170° D．150°

　

第2题图

第1题图

2．设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°

　

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）

A．60° B．45° C．30° D．75°

　

第5题图

第4题图

第3题图

4．如图，在四边形ABDC中，∠BDC=90°，AB⊥BC，E、F分别是AC、BC的中点，BE、DF的大小关系是（　　）

A．BE＞DF B．BE=DF C．BE＜DF D．无法确定

　

5．如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（　　）

A． B．2 C． D．4

　

6．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）

A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形

B．如果c²=b²﹣a²，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°

C．如果（c+a）（c﹣a）=b²，则△ABC是直角三角形

D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形

　

7．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（　　）m²的红地毯．

A．21 B．75 C．93 D．96

　

第8题图

第7题图

8．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

　

二．填空题（共8小题）

9． Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°30′，则∠B=　　　　　　°．

　

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　　　　　　．

　

第12题图

第10题图

第11题图

11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长是　　　　　　．

12．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是　　　　　　．

　

13．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　　　　　　个．

　

第13题图

第15题图

第16题图

14．如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，则三角形为　　　　　　三角形．

　

15．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，且蚂蚁在正方体盒子的内部D₁C₁的中点M处．它爬到BB₁的中点N的最短路线长是　　　　　　．

　

16．如图，在等腰Rt△OAA₁中，∠OAA₁=90°，OA=1，以OA₁为直角边作等腰Rt△OA₁A₂，以OA₂为直角边作等腰Rt△OA₂A₃，…，则OA_n的长度为　　　　　　．

　

三．解答题（共7小题）

17．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．

　

18．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．

　

19．观察、思考与验证

（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式　　　　　　；

（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；

（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．

　

20．观察下列勾股数：

①3、4、5，且3²=4+5；

②5、12、13，且5²=12+13；

③7、24、25，且7²=24+25；

④9，b，c，且9²=b+c；

…

（1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=　　　　　　，c=　　　　　　．

（2）猜想第n组勾股数，并证明你的猜想．

　

21．（1）如图甲，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，求水管AB的长．

（2）如图乙，在△ABC中，D是BC边上的点．已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长．

　

22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．

　

23．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

（1）求证：△ACE≌△ABD；

（2）若AC=2，EC=4，DC=2 ．求∠ACD的度数；

（3）在（2）的条件下，直接写出DE的长为　　　　　　．（只填结果，不用写出计算过程）

　

　

参考答案：

　

一．选择题（共8小题）

1． B． 2． C． 3． C． 4． A． 5． C． 6． B． 7． C． 8． B．

　

二．填空题（共8小题）

9．　54.5　°． 10．　150a元　． 11．　14　． 12．　 　．

　

13．　4　． 14．　直角　 15．　2 cm　． 16．　 　．

　

三．解答题（共7小题）

17．

18．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF；

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∴在Rt△DBE和Rt△DCF中

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；

∴EB=FC．

　

19．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²；理由如下：

∵大正方形的边长为a+b，

∴大正方形的面积=（a+b）²，

又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a²+b²+ab+ab=a²+2ab+b²，

∴（a+b）²=a²+2ab+b²；

故答案为：（a+b）²=a²+2ab+b²；

（2）证明：∵△ABC≌△CDE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠DCE=90°，

∴∠ACE=90°；

（3）证明：∵∠B=∠D=90°，

∴∠B+∠D=180°，

∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，

∴四边形ABDE的面积= （a+b）（a+b）= ab+ c²+ ab，

整理得：a²+b²=c²．

　

20．解：（1）∵由勾股定理得：c²﹣b²=9²，

∴（c﹣b）（c+b）=81，

∵b+c=81，

∴c﹣b=1，

解得：b=40，c=41．

故答案为：40；41；

（2）猜想第n组勾股数为：2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，

∵（2n+1）²+（2n²+2n）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，

（2n²+2n+1）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，

∴（2n+1）²+（2n²+2n）²=（2n²+2n+1）²，

∵n是整数，

∴2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，是一组勾股数．

　

21．解：（1）由题意可得：∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，AB= = =40（m），

答：水管AB的长为40m；

（2）∵AB=13，AD=12，BD=5，

∴AB²=13²=169，BD²=5²=25，DA²=12²=144，

∴AB²=BD²+DA²，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ADC中，又AC=15，

∴CD= = =9．

　

22．（1）证明：连接BP、CP，

∵ 点P在BC的垂直平分线上，

∴BP=CP，

∵AP是∠DAC的平分线，

∴DP=EP，

在Rt△BDP和Rt△CEP中， ，

∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），

∴BD=CE；

（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中， ，

∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），

∴AD=AE，

∵AB=6cm，AC=10cm，

∴6+AD=10﹣AE，

即6+AD=10﹣AD，

解得AD=2cm．

　

23．解：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

即∠EAC=∠BAD．

∵在△ACE和△ABD中

，

∴△ACE≌△ABD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△ABD（SAS），

∴DB=EC=4，

在Rt△ABC中，

A B²+AC²=BC²，

∴BC²=2²+2²=8

在△DBC中，

BC²+DC²=8+8=16=4²=BD²

∴∠DCB=90°

∴∠ACD=90°+45°=135°；

（3）∵BC²=8，DC²=8

∴BC=DC．

∵∠DCB=90°，

∴∠DBC=45°．

∵∠ABC=45°，

∴∠ABD=90°．

在Rt△ABD中由勾股定理，得

AD= =2 ．

在Rt△AED中由勾股定理，得

ED= =2 ．

故答案为：2 ．