【330401】北师大版八上第1章测试卷（3）

第一章 勾股定理 章末测试卷

一、选择题（每题4分，共28分）

1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）

A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8

3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）

A．12米 B．13米 C．14米 D．15米

5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）

A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a²：b²：c²=1：2：3 D．a²：b²：c²=3：4：5

6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）

A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm

7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

二、填空：（每空4分，共计28分）

8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　　．

9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　　，c=　　．

10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　　cm²．

11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　　（填“能”、或“不能”）

12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　　．

13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　　．

14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　cm（杯壁厚度不计）．

三、解答题：（每题11分，共计44分）

15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）

16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？

17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；

（1）求BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？

四、附加题

19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE²+CF²=EF²；

（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

参考答案

一、选择题（每题4分，共28分）

1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】直接根据勾股定理求解即可．

【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，

∴弦为＝5．

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）

A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8

【考点】KS：勾股定理的逆定理．

【专题】55：几何图形．

【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．

【解答】解：A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形；

B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；

C、∵ ＝10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；

D、∵ ＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．

3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】算术平方根．

【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．

【解答】解：由勾股定理，得AC= ，

乘方，得（）²=2，

故选：A．

【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．

4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）

A．12米 B．13米 C．14米 D．15米

【考点】勾股定理的应用．

【专题】应用题．

【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．

【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC= = =12米．

故选A．

【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．

5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）

A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a²：b²：c²=1：2：3 D．a²：b²：c²=3：4：5

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．

【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果．

【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，3²+4²=5²，

∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；

∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，

∴∠C=90°，B是直角三角形；

∵a²：b²：c²=1：2：3，

∴a²+b²=c²，

∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；

∵a²：b²：c²=3：4：5，

∴a²+b²≠c²，

∴三角形不是直角三角形；

故选：D

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．

6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）

A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．

【解答】解：如图：

由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，

作AD⊥BC于点D，则有DB= BC=8cm，

在Rt△ABD中，AD= =6cm．

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．

7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【专题】网格型．

【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．

【解答】解：∵正方形小方格边长为1，

∴BC= =2 ，

AC= = ，

AB= = ，

在△ABC中，

∵BC²+AC²=52+13=65，AB²=65，

∴BC²+AC²=AB²，

∴△ABC是直角三角形．

故选：A．

【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形．

二、填空：（每空4分，共计28分）

8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　7或25　．

【考点】勾股定理．

【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．

【解答】解：分两种情况：

当3、4都为直角边时，第三边长的平方=3²+4²=25；

当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=4²﹣3²=7．

故答案为：7或25．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　12　，c=　10　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理进行计算即可．

【解答】解：b= =12；

c= =10，

故答案为：12；10．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm²．

【考点】勾股定理．

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．

【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm²．

故答案为：49cm²．

【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．

11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　能　（填“能”、或“不能”）

【考点】勾股定理的应用．

【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．

【解答】解：能，理由如下：

可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，

根据题意，得x²=50²+40²+30²=5000，

70²=4900，

因为4900＜5000，

所以能放进去．

故答案为能．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．

12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　2 或2 　．

【考点】KQ：勾股定理．

【专题】552：三角形．

【分析】分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1，

②当△ABC是钝角三角形，如图2，

分别根据勾股定理计算AC和BC即可．

【解答】解：分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA＝90°，

∵CD＝，AD＝1，

∴AC＝2，

∵AB＝2AC，

∴AB＝4，

∴BD＝4﹣1＝3，

∴BC＝＝＝2 ；

②当△ABC是钝角三角形，如图2，

同理得：AC＝2，AB＝4，

∴BC＝＝＝2 ；

综上所述，BC的长为2 或2 ．

故答案为：2 或2 ．

【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．

13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　 ﹣1　．

【考点】勾股定理．

【专题】11：计算题．

【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．

【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，

在Rt△ABC中，∠B＝45°，

∴BC＝ AB＝2，BF＝AF＝ AB＝1，

∵两个同样大小的含45°角的三角尺，

∴AD＝BC＝2，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝

∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+ ﹣2＝ ﹣1，

故答案为： ﹣1．

【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）．

【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题．

【专题】27：图表型．

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．

故答案为20．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

三、解答题：（每题11分，共计44分）

15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）

【考点】勾股定理的应用．

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．

【解答】解：如图所示：

因为AB=9米，AC=12米，

根据勾股定理得BC= =15米，

于是折断前树的高度是15+9=24米．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由题意得，AC=6× =3km，BC=8× =4km，

∠ACB=90°，

则AB= =5km．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．

17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；

（1）求BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；

（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S_四边形_ABCD=S_△_ABD+S_△_BDC，即可得出答案．

【解答】解：（1）∵∠A=90°，

∴△ABD为直角三角形，

则BD²=AB²+AD²=25，

解得：BD=5．

（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，

∴BD²+CD²=BC²，

∴BD⊥CD，

故S_四边形_ABCD=S_△_ABD+S_△_BDC= AB×AD+ BD×DC=6+30=36．

【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．

18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】应用题；操作型．

【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．