【330335】2020年江西省中考数学试卷

江西省2020年中等学校招生考试

数学试题卷

(参考答案与解析)

满分：120分 时间：120分钟

一、选择题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.-3的倒数是（ ）

_{A．3 B．-3 C．} D．

_【解析】-3的倒数为 ，故选C

2.下列计算正确的是（ ）

_A． B． C． D．

_【解析】由于 和 不是同类项，故A，B选项均错误，同底指数幂相乘，底数不变指数相加，故C选项正确答案应为 ，D选项正确，故答案为D

3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ）

_A． B． C． D．

_【解析】50175亿即为数字5017500000000，根据科学记数法应写为_a×10N，（1≤|_{a|＜10），N为小数点移动的位置，可得}5.0175×1012.故应选B

4.如图， ，则下列结论错误的是（ ）

_A． B． C． D．

_【解析】

由∠1=∠2=65°，可得内错角相等，两直线平行，故A选项正确，∠3和∠BFE互为对顶角，∴∠BFE=35°，∠1为△BEF的外角，∴∠1=∠BFE+∠B，可得∠B=30°，故B选项正确.

_{∠EFC为△CFG的外角，∴∠EFC=∠C+∠CGF，故C选项错误.因为在△CGF中，∠CFG＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确，所以本题答案为C}

5.如图所示，正方体的展开图为（ ）

【解析】根据平面展开图的定义可得A选项为正确选项，故选A

6.在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，连接 ，将 向右上方平移，得到 ，且点 ， 落在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，则直线 的表达式为（ ）

_A． B． C． D．

_【解析】

将抛物线 配方可得 ，∴对称轴为直线 ，抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，∴B（3,0）与 轴交点 ，∴OA=3，OB=4

_{根据平移的规律可得} 且 ，∴ ，代入抛物线可得 ，直线AB的解析式为 ，根据 ∥ 可得直线 的解析式为 ，再将 代入可得 ，∴直线 的解析式为 ，故选B

二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）

7.计算： ．

【解析】根据差的完全平方公式展开得 ，故答案为

8.若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则这个一元二次方程的另一个根为 ．

【解析】设一元二次方程的两根为 ，并设 ，根据 ，可得 ，∴另外一根为-2，故答案为-2

9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．

【解析】依题意可得，有两个尖头表示 ，有5个丁头表示 ，故这个两位数为25

10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：

那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为 ．

【解析】由于9出现的次数为14次，频数最多，∴众数为9，故答案为9

11.如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点 ，若 ，则 的度数为 ．

【解析】CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D，设∠ACB= ，∠B= ，则∠ACD= ，∠D= ，∠EAC为△ACD的一个外角，∴ ，在△ABC中有内角和为180°，∴ ，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案为82°

12.矩形纸片 ，长 ，宽 ，折叠纸片，使折痕经过点 ，交 边于点 ，点 落在点 处，展平后得到折痕 ，同时得到线段 ， ，不再添加其它线段，当图中存在 角时， 的长为 厘米.

【解析】当∠ABE=30°时，则∠ = ，在Rt△ABE中，tan∠ABE= ，∴此时

.

当∠AEB=30°时，此时在Rt△ABE中，tan∠AEB= ，∴

当∠ 时，过 作AB的平行线交 于F，BC于G，∵ ，

∴ ，设 ，则 ，∴

在矩形ABGF中，AF=BG，∴ ，解得 ，此时

故答案为： 或 或

三、解答题：本大题共5个小题,每小题6分,共30分.

_{13.（1）计算：} （2）解不等式组：

_【解析】

原式= 解不等式①，得

= 解不等式②，得

∴原不等式组的解集是

14.先化简，再求值： ，其中 .

【解析】

原式=

= =

∵ ，∴原式=

15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率.

【解析】

（1）

（2）根据题意画出树状图如下：

由树状图可得所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等“其中两位同学均来自八年级”的结果共有2种，∴P（两位同学均来自八年级）=

16.如图，在正方形网格中， 的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1中，作 关于点 对称的 ；

（2）在图2中，作 绕点 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的 .

【解析】作图如下：

17. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.

【解析】（1）设笔芯 元/支，笔记本 元/本，依题意可得 解得

答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.

（2）方法一：合买笔芯，合算.

∵整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元

∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯

∴共可节约：0.5×10=5元.

∵小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，

∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.

方法二：合买笔芯，单算.

∵整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.

∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3

∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.

四、本大题共3个小题,每小题8分,共24分.

18. 如图， 中， ，顶点 ， 都在反比例函数 的图象上，直线 轴，垂足为 ，连结 ， ，并延长 交 于点 ，当 时，点 恰为 的中点，若 ， .

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 的度数.

【解析】：（1）∵AD⊥ 轴，∠AOD=45°，OA= ，∴ .∴A（2,2）

∵点A在反比例函数图象上，∴ ，∴

（2）∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，

∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，∵AB=2OA，∴AO=AE.

∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB.∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，∴BC∥ 轴.

∴∠ECB=∠EOD，∴∠AOE=2∠EOD.∵∠AOD=45°，

∴∠EOD= ∠AOD=

19. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：

根据以上图表信息，完成下列问题：

（1） ；

（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；

（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有

人；

4. 请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数.

【解析】（1）14.

2. 对比前一次测试优秀学生的比例大幅提升；

对比前一次测试学生的平均成绩有较大提高；

对比前一次测试学生成绩的众数、中位数增大.

（3）20,34

（4）

答：该校800名八年级学生数学成绩优秀得人数是320人

20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长 ，支撑板长 ，底座长 ，托板 固定在支撑板顶端点 处，且 ，托板 可绕点 转动，支撑板 可绕点 转动.（结果保留小数点后一位）

（1）若 ， ，求点 到直线 的距离；

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把 绕点 逆时针旋转 后，再将 绕点 顺时针旋转，使点 落在直线 上即可，求 旋转的角度.

（参考数据： ， , ,

, ）

【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥DE于点H.

∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°= ，

∴

作AM⊥DE于点M，CN⊥AM于点N.∴MN=CH= ，∠NCD=∠CDE=60°

∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.

∵sin∠ACN= ∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.

∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.

（2）解法一：

∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD.

∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB= =0.5.

∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°

答：CD旋转的度数约为33.4°

解法二：

当点B落在DE上时，如图3

在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）

∴tan∠CDB= =0.5.∴∠CDB≈26.6

∴∠ =∠ -∠BDC=60°-26.6°=33.4°

答：CD旋转的度数约为33.4°

五、本大题共2个小题,每小题9分,共18分.

21. 已知 的两边分别与圆 相切于点 ， ，圆 的半径为 .

（1）如图1，点 在点 ， 之间的优弧上， ，求 的度数；

（2）如图2，点 在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 交圆 于点 ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 的式子表示）.

【解析】（1）如图1，连接OA，OB.

∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=80°

∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°

（2）如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形.连接OA，OB.

由（1）可知∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°.

∴∠ACB=60°=∠APB.

∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心.

∵PA，PB为⊙O的切线，∴四边形APBC为轴对称图形.

∴PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.

∵∠APB=∠ACB=60°，∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°

∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形

（3）∵⊙O的半径为r，∴OA=r，OP=2r

∴ ， ，∴∠AOP=60°，∴

∴

22. 已知抛物线 （ ， ， 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；

（2）求抛物线的表达式及 的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点 为抛物线上的动点， 的中点为 ，描出相应的点 ，再把相应的点 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线 （ ）与抛物线及（3）中的点 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 ， ， ， ，请根据图象直接写出线段 ， ， ， 之间的数量关系 .

【解析】（1）上；直线

（2）由表格可知抛物线过点（0，-3）.∴

将点（-1,0），（2，-3）代入，得 解得 ，∴

当 时，

当 时，

（3）如图所示，点 所在曲线是抛物线.

（4）

六、本大题共12分.

23. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 ， ， 之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 中， 为斜边，分别以 为斜边向外侧作 ， ， ，若 ，则面积 ， ， 之间的关系式为 ；

推广验证

（2）如图3，在 中， 为斜边，分别以 为边向外侧作任意 ， ， ，满足 ， ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 中， ， ， ， ，点 在 上， ， ，求五边形 的面积.

【解析】（1）

（2）成立；∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，∴△ABD∽△CAE∽△BCF.

∴ ∴ ∵△ABC为直角三角形

∴ .∴ ，∴ ，∴成立.

（3）过点A作 ⊥BP于点H.

∵∠ABH=30°，AB= .∴ .

∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°.∴PH=AH= .∴ ，BP=BH+PH=

∴ .连接PD.

∵ ，∴ .

∴ 又∵∠E=∠BAP=105°，△ABP∽△EDP.∴∠EPD=∠APB=45°，

.∴∠BPD=90°， ∴

连接BD.

∴ .

∵tan∠PBD= ，∴∠PBD=30°.∵∠ABC=90°，∠ABC=30°，∴∠DBC=30°

∵∠C=105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD.

∴S_△BCD=S_△ABP+S_△EDP= .

∴S_五边形ABCDE=S_△ABP+S_△EDP+S_△BCD+S_△BPD

=