【330312】2020年湖北省孝感市中考数学试题

湖北省孝感市2020年中考数学试题

─、精心选一选，相信自己的判断！

1.如果温度上升 ，记作 ，那么温度下降 记作（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据具有相反意义的量进行书写即可．

【详解】由题知：温度上升 ，记作 ，

∴温度下降 ，记作 ，

故选：A．

【点睛】本题考查了具有相反意义的量的书写形式，熟知此知识点是解题的关键．

2.如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ．若 ，则 的度数为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

已知 ， ，根据邻补角定义即可求出 的度数．

【详解】∵

∴

∵

∴

故选：B

【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．

3.下列计算正确 是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变和单项式的乘法法则，逐一判断即可.

【详解】A：2a和3b不是同类项，不能合并，故此选项错误；

B： 故B错误；

C： 正确；

D： 故D错误.

【点睛】本题考查了合并同类项以及单项式的乘法的知识，解答本题的关键是熟练掌握合并同类项的法则.

4.如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

从左面看，所得到的图形形状即为所求答案．

【详解】从左面可看到第一层为2个正方形，第二层为1个正方形且在第一层第一个的上方，

故答案为：C．

【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

5.某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：

年收入/万元	4	6	8	10
人数/人	3	4	2	1

则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）

A. 4，6 B. 6，6 C. 4，5 D. 6，5

【答案】B

【解析】

【分析】

数据出现最多的为众数;将数据从小到大排列,最中间的2个数的平均数为中位数．

【详解】6出现次数最多, 故众数为: 6，

最中间的2个数为6和6，中位数为 ，

故选: B．

【点睛】本题考查众数和中位数,需要注意,求解中位数前,一定要将数据进行排序．

6.已知 ， ，那么代数式 的值是（ ）

A. 2 B. C. 4 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x、y的值代入计算即可．

【详解】解： = =x+y= + =2 ．

故答案为D．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键．

7.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．

【详解】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，

故设反比例函数解析式为I= ，

将(6,8)代入函数解析式中，

解得k=48，

故I=

故选C．

【点睛】本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．

8.将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则抛物线 的解析式为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式 ，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线 的解析式．

【详解】解：抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线 ： ，即抛物线 ： ;

由于抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则抛物线 的解析式为： .

故选：A．

【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．

9.如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．动点 沿路径 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向点 运动．过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的时间为 （单位： ）， 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断．

【详解】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，

∵AP=x， ，

∴ ，

∴ ；

当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，

过点B作BM⊥AD于点M，则 ，

∴ ；

当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，

AD= ， ，

∴ ；

综上，y与x的函数关系式是： ，

其对应的函数图象应为：

．

故选：D．

【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．

10.如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，与 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）

A. B. C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可．

【详解】解：∵ ，

∴BC=BG+GC=2+3=5

∵正方形

∴CD=BC=5

设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x

∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°

∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°

∴∠HFG=∠BAG

∴△ABG∽△CEF

∴ ,即 ，解得x=

∴CE=CD-DE=5- = ．

故答案为B．

【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键．

二、细心填一填，试试自己的身手！

11.原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒．数据100万用科学记数法表示为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先将100万写成1000000，然后再写成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为1000000写成a时小时点向左移动的位数．

【详解】解：100万=1000000=

故答案为 ．

【点睛】本题考查了科学记数法，将1000000写成a×10ⁿ的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．

12.有一列数，按一定的规律排列成 ， ，3， ，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是 ，则这三个数中第一个数是______．

【答案】

【解析】

【分析】

题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设三个数为n，-3n，9n，据题意列式即可求解．

【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设第一个数是n，则三个数为n，-3 n，9n

由题意： ，

解得：n=-81，

故答案为：-81．

【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．

13.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长为______ ．（结果保留根号）

【答案】

【解析】

【分析】

如图（见解析），先在 中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．

【详解】如图，过A作 ，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形

由图中数据可知， ， ， ，

在 中， ，即

解得

是等腰三角形

则 的长为

故答案为： ．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．

14.在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长 分钟；B类：5分钟 总时长 分钟；C类：10分钟 总时长 分钟；D类：总时长 15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．

该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有______人．

【答案】336

【解析】

【分析】

先根据A类的条形统计图和扇形统计图信息求出调查抽取的总人数，再求出每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生的占比，然后乘以1200即可得．

【详解】调查抽取的总人数为 （人）

C类学生的占比为

B类学生的占比为

则 （人）

即该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有336人

故答案为：336．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键．

15.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若 ，则 的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

如图（见解析），设 ，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出 的值，再根据 建立等式，然后根据 建立等式求出a的值，最后代入求解即可．

【详解】如图，由题意得： ， ， ， 是直角三角形，且 均为正数

则大正方形的面积为

小正方形的面积为

设

则

又 ，即

解得 或 （不符题意，舍去）

将 代入 得：

两边同除以 得：

令

则

解得 或 （不符题意，舍去）

即 的值为

故答案为： ．

【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出 的值是解题关键．

16.如图，已知菱形 的对角线相交于坐标原点 ，四个顶点分别在双曲线 和 上， ．平行于 轴的直线与两双曲线分别交于点 ， ，连接 ， ，则 的面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先作 轴于点G，作 轴于点H，证明 ，利用 ，同时设出点A的坐标，表示出OH，BH的长度，求出k的值，设直线EF的解析式为 ，表示点E，F的坐标，求出EF的长度，可求得 的面积．

【详解】作 轴于点G，作 轴于点H，如图所示：

∵ 即

∴

∴

设点A的坐标为

则

∴

∴

∵ 的图象在第二，四象限

∴

设直线EF的解析式为：

则

∴

∴

故答案为： ．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，快速找到相似三角形求出k的值，是解题的关键．

三、用心做一做，显显自己的能力！

17.计算：

【答案】 ．

【解析】

分析】

先计算立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．

【详解】原式

．

【点睛】本题考查了立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．

18.如图，在 中，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，满足 ．连接 ，分别与 ， 交于点 ， ．求证： ．

【答案】证明见解析．

【解析】

分析】

先根据平行四边形的性质可得 ， ，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得 ， ，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．

【详解】∵四边形 为平行四边形

∴ ，

∴ ，

在 和 中，

∴

∴ ．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．

19.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数 ，2，5，8．

（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为______；

（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．

【答案】（1） ;（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率公式进行计算即可；

（2）列表展示所有16种等可能的结果数,再找出两次抽取的卡片上两数之差的绝对值大于3结果数,然后根据概率公式求解．

【详解】解：（1）抽取到的数为偶数的概率为P= ．

（2）列表如下：

第1次 第2次		2	5	8
2
5
8

∵差的绝对值有16种可能，绝对值大于3的有6种可能，

∴差的绝对值大于3的概率 ．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

20.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， 和 ，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段 ，使点 平移到点 ，画出平移后所得的线段 ，并写出点 的坐标为______；

（2）将线段 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后所得的线段 ，并直接写出 的值为______；

（3）在 轴上找出点 ，使 的周长最小，并直接写出点 的坐标为______．

【答案】（1）（2，-4） （2） （3）（0,4）

【解析】

【分析】

（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．

（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解 值．

（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．

【详解】解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．

点D的坐标为 ；

(2)如图所示：

根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC= 、EC= 、BE= ，故 ,可以判断出△BEC为直角三角形．

故

(3)如图所示：

过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),

故点F的坐标为(0,4)．

【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出 的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．

21.已知关于 的一元二次方程 ．

（1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根 ， 满足 ，求 的值．

【答案】（1）见解析 （2）0，-2

【解析】

【分析】

（1）根据根的判别式即可求证出答案；

（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得 与的 、 的关系式，进一步可以求出答案.

【详解】(1)证明：∵ ，

∵无论 为何实数， ，

∴ ，

∴无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程根与系数的关系得：

， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，化简得： ，

解得 ， ．

【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.

22.某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知 乙产品的售价比 甲产品的售价多5元， 丙产品的售价是 甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．

（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？

（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 ，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买 农产品最少要花费多少元？

【答案】（1）甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；（2）按此方案购买 农产品最少要花费300元．

【解析】

【分析】

（1）设 甲产品的售价为 元，先表示出 乙产品的售价和 丙产品的售价，再根据“用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍”建立方程，然后求解即可得；

（2）设 的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有 ，先求出乙种农产品的数量和甲种农产品的数量，再根据题干三种农产品间的数量关系列出不等式求出m的取值范围，然后根据（1）的结论得出所需费用关于m的函数关系式，最后利用一次函数的性质即可得．

【详解】（1）设 甲产品的售价为 元，则 乙产品的售价为 元， 丙产品的售价为 元

由题意得：

解得：

经检验， 是所列分式方程的解，也符合题意

则 ，

答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；

（2）设 的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有 ，则乙种农产品有 ，甲种农产品有

由题意得：

解得

设按此销售方案购买 农产品所需费用 元

则

∵在 范围内， 随 的增大而增大

∴当 时， 取得最小值，最小值为 （元）

答：按此方案购买 农产品最少要花费300元．

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，依据题意，正确列出方程和函数的解析式是解题关键．

23.已知 内接于 ， ， 的平分线与 交于点 ，与 交于点 ，连接 并延长与 过点 的切线交于点 ，记 ．

（1）如图1，若 ，

①直接写出 值为______；

②当 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为______；

（2）如图2，若 ，且 ， ，求 的长．

【答案】（1）① ； ② ；（2）5

【解析】

【分析】

（1）①连接AD，连接AO并延长交BC于H点，根据题意先证明△ABC是等边三角形，再得到∠AFD为直角，利用含30°的直角三角形即可求解；②根据割补法即可求解阴影部分面积；

（2）连接 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，根据题意先证明 ，得到 ，再求出 ，根据 ，得到 ，即可求出BD，从而求出BE的长．

【详解】解：（1）① ，

∴△ABC是等边三角形，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC= ∠ABC=30°，

∵∠BDC=∠BAC=60°

∴∠BCD=180°-∠DBC-∠BDC=90°

∴BD是直径，

∴∠BAD=90°，CD=AD

连接AO并延长交BC于H点，

∵AO=BO

∴∠BAH=∠ABO=30°，

∴∠AHB=180°-∠BAH-∠ABC=90°

∴AH⊥BC

∵AF是 的切线

∴AF⊥AH

∴四边形AHCF是矩形

∴AF⊥CF

∵∠ADB=∠BDC=60°

∴∠ADF=180°-∠ADB-∠BDC=60°

∴∠FAD=90°-∠ADF=30°

∴ ；

②∵半径为2，

∴AO=OD=2，

∵∠DBC=30°，

∴CD= BD=2=AD，

∴DF= AD=1,

∴AF= ,

∵∠AOB=180°-2∠ABO=120°，

∴∠AOD=180°-∠AOB=60°，

∴ ﹔

故答案为：① ； ② ；

（2）如图，连接 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 ，

∴ ．

∵ 与 相切，

∴ ．

∴ ．

∵ 平分 ，

∴ ．

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵四边形 内接于 ，

∴ ．

又∵ ，

∴ ．

又∵ ，

∴ ．

又∵ 公共，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ ， 公共，

∴ ．

∴ ，即 ，

∴ ．

∴ ．

【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的性质、等边三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．

24.在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为点 ．

（1）当 时，直接写出点 ， ， ， 的坐标：

______， ______， ______， ______；

（2）如图1，直线 交 轴于点 ，若 ，求 的值和 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点 为 的中点，动点 在第三象限的抛物线上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交 于点 ；过点 作 ，垂足为 ．设点 的横坐标为 ，记 ．

①用含 的代数式表示 ；

②设 ，求 的最大值．

【答案】（1） ， ， ， ；（2） ； ；（3）① ；② ．

【解析】

【分析】

（1）求出 时，x的值可得点A、B的坐标，求出 时，y的值可得点C的坐标，将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D的坐标；

（2）先求出顶点D的坐标，从而可得DK、OK的长，再利用正切三角函数可得EK、OE、OC的长，从而可得出点C的坐标，然后将点C的坐标代入二次函数的解析式可得a的值，利用勾股定理可求出CE的长；

（3）①如图，先利用待定系数法求出直线AN的解析式，从而可得点F的坐标，由此可得出PF的长，再利用待定系数法求出直线CE的解析式，从而可得点J的坐标，由此可得出FJ的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可得FH的长，最后根据 的定义即可得；

②先将 的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得．

【详解】（1）当 时，

当 时， ，解得 或

则点A的坐标为 ，点B的坐标为

当 时，

则点C的坐标为

将 化成顶点式为

则点D的坐标为

故答案为： ， ， ， ；

（2）如图，作 轴于点

将 化成顶点式为

则顶点D的坐标为

∴ ，

在 中， ，即

解得

在 中， ，即

解得

，

将点 代入 得：

解得 ；

（3）①如图，作 与 的延长线交于点

由（2）可知， ，

∴

当 时， ，解得 或

∴ ，

为OC的中点

∴

设直线AN的解析式为

将点 ， 代入得： ，解得

则直线AN的解析式为

∵

∴

∴

由（2）知，

，

设直线CE的解析式为

将点 ， 代入得： ，解得

则直线CE的解析式为

∴

∴

∵ ， 轴

∴ ，

∴

∴ ，即

解得

∴

即 ；

②将 化成顶点式为

由二次函数的性质可知，当 时， 随t的增大而增大；当 时， 随t的增大而减小

因此，分以下两种情况：

当 时

在 内， 随t的增大而增大

则当 时， 取得最大值，最大值为

又 当 时，

当 时

在 内， 随t的增大而增大；在 内， 随t的增大而减小

则当 时， 取得最大值，最大值为

综上， 的最大值为 ．

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）①，通过作辅助线，构造相似三角形求出 的长是解题关键．