【330305】2020年湖北省荆门市中考数学试题

湖北省荆门市2020年中考数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 的平方是（ ）

A. B. C. D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

先计算 ，然后再计算平方．

【详解】∵

∴

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可．

2.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】82.6亿＝ ．

故选：B．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.如图，菱形 中，E，F分别是 ， 的中点，若 ，则菱形 的周长为（ ）

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长．

【详解】解：∵E，F分别是 ， 的中点，

∴EF为△ABD的中位线，

∴ ，

∵四边形 是菱形，

∴ ，

∴菱形 的周长为

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键．

4.下列等式中成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可．

【详解】解：A、 ，

故选项A错误；

B、

，

故选项B错误；

C、

，

故选项C错误；

D、

，

故选项D正确，

故选：D．

【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．

5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. 1 B. 2 C. D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．

【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，

则，等腰直角三角形的底面积 ，

体积=底面积×高 ，

故选：A

【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键．

6. 中， ，D为 的中点， ，则 的面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

连接AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到 的度数，及 ，由 得 ，得 ，计算 的面积即可．

【详解】连接AD，如图所示：

∵ ，且D为BC中点

∴ ，且 ，

∴ 中，

∵

∴

∴

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．

7.如图， 中， ，则 的度数为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由垂径定理都出 ，然后根据圆周角定理即可得出答案．

【详解】∵OC⊥AB，

∴ ，

∴∠APC= ∠BOC，

∵∠APC=28°，

∴∠BOC=56°，

故选：D．

【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出 是解题关键．

8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116这组数据的平均数和中位数分别为（ ）

A. 95，99 B. 94，99 C. 94，90 D. 95，108

【答案】B

【解析】

【分析】

按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可．

【详解】平均数为：

将数据按照从小到大进行排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120

中位数为：

故选：B．

【点睛】本题考查了平均数，中位数的计算，熟知以上计算方法是解题的关键．

9.在平面直角坐标系 中， 的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为 ，将 沿直线 翻折，得到 ，过 作 垂直于 交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出OA，然后证明△ ∽△ 即可得出答案．

【详解】由题意可得AB=1，OB= ，

∵△ABC为直角三角形，

∴OA=2，

由翻折性质可得 =1， = ， =2，∠ =90°，

∵∠ +∠ =90°，∠ +∠ =90°，

∴∠ =∠ ，

∵ ⊥ ，∠ =90°，

∴△ ∽△ ，

∴ ，即

∴OC=4，

∴点C的坐标为（0，-4），

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△ ∽△ 是解题关键．

10.若抛物线 经过第四象限的点 ），则关于x的方程 的根的情况是（ ）

A. 有两个大于1的不相等实数根 B. 有两个小于1的不相等实数根

C. 有一个大于1另一个小于1的实数根 D. 没有实数根

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线的图像进行判断即可．

【详解】∵a>0，

∴抛物线开口向上，

∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）

∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，

故选：C．

【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．

11.已知关于x的分式方程 的解满足 ，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）

A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】

先解出关于x的分式方程得到x= ，代入 求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．

【详解】关于x的分式方程

得x= ，

∵

∴

解得-7＜k＜14

∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，

又∵分式方程中x≠2且x≠-3

∴k≠35且k≠0

∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,

故选A．

【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．

12.在平面直角坐标系中，长为2的线段 （点D在点C右侧）在x轴上移动 ， ，连接 、 ，则 的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解．

【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）

过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）

连接BE交x轴与D点

过A’作A’C∥DE交x轴于点C，

∴四边形CDEA’为平行四边形，

此时AC+BD最短等于BE的长，

即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE= =

故选B．

【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）

13.计算： ______．

【答案】

【解析】

【分析】

原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数幂运算法则计算，第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可.

【详解】

=

=

故答案为：

【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键.

14.已知关于x的一元二次方程 的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．

【答案】1

【解析】

分析】

利用因式分解法求出x₁,x₂，再根据根的关系即可求解．

【详解】解

（x-3m）（x-m）=0

∴x-3m=0或x-m=0

解得x₁=3m,x₂=m，

∴3m-m=2

解得m=1

故答案为：1．

【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．

15.如图所示的扇形 中， ，C为 上一点， ，连接 ，过C作 的垂线交 于点D，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断 为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．

【详解】在 中，

∴

∵

∴

∵

∴ 为等边三角形

∴

故答案为：

【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．

16.如图，矩形 的顶点A、C分别在x轴、y轴上， ，将 绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到 ， 交 于点G，若反比例函数 的图象经过点G，则k的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．

【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=

由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，

∴OE=OA=2，DE=AB=1，

∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，

∴△COG∽△EOD，

∴ ，即 ，

解得：CG= ，

∴点G（ ，1），

代入 可得：k= ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度．

17.如图，抛物线 与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线 ，给出下列结论：① ；②若点C的坐标为 ，则 的面积可以等于2；③ 是抛物线上两点 ，若 ，则 ；④若抛物线经过点 ，则方程 的两根为 ，3其中正确结论的序号为_______．

【答案】①④

【解析】

【分析】

①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．

②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．

③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．

④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．

【详解】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0， 抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．

②从图像可知，AB>4, > ， ，故错误．

③ ， 从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．

④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴ ，即x=3，是方程 的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．

三、解答题（本大题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18.先化简，再求值：

，其中 ．

【答案】 ； ．

【解析】

【分析】

利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．

【详解】解：

原式

当 时，

原式

。

【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．

19.如图， 中， ， 的平分线交 于D， 交 的延长线于点E， 交 于点F．

（1）若 ，求 的度数；

（2）若 ，求 的长．

【答案】（1） ；（2） ．

【解析】

【分析】

（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出 ， ，再根据垂直与外角的性质即可求出 ；

（2）根据题意证明 ，再得到 为等边三角形，故可得到 ，可根据三角函数的性质即可求出AF．

【详解】（1）∵ ， ，

∴ ．

∵ 平分 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

（2）∵ ，

∴ ，

又 ，

∴ ，

∴ ，

∵

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 为等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

在 中， ．

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．

20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．

根据图中信息解答下列问题：

（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；

（2）补全条形统计图；

（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这 件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为 ，求x，y的值．

【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3） ．

【解析】

【分析】

（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可；

（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；

（3）由销量比，则 ，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案．

【详解】解：（1）抽取的总数为： （件），

∴XXL的百分比： ，

XL的百分比： ；

∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%．

（2）根据题意，

S号的数量： （件），

L号的数量： （件），

XL号数量： （件），

补全条形图如图所示．

（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则 ，

根据概率的意义，有 ，

∴ ，

解得： ．

【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21.如图，海岛B在海岛A的北偏东 方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东 方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

（1）求 的度数；

（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．

（参考数据： ）

【答案】（1） ；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．

【解析】

【分析】

（1）过点B作 于点D，作 于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE 度数，即可求解；

（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在 中，求出AD、BD的长度，证出四边形 为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．

【详解】（1）过点B作 于点D，作 于点E．

由题意得： ， ，

∵ ，

∴ ，

而

∴ ．

（2） （海里）

在 中， ，

（海里），

（海里），

在 中， ，

（海里），

（海里），

∵ ， ， ，∴ ，

∴四边形 为矩形，

∴ ，

∴

，

设快艇的速度为v海里/时，则 （海里时）

答：快艇 速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．

22.如图， 为 的直径， 为 的切线，M是 上一点，过点M的直线与 交于点B，D两点，与 交于点E，连接 ．

（1）求证： ；

（2）若 ， ，求 的半径．

【答案】（1）见解析；（2） 的半径为2.5．

【解析】

分析】

（1）根据切线的性质得到 ，可得 ，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到 ，故可证明；

（2）解法1，先连接BC,证明 ，得到EM=6，根据勾股定理求出AE，再根据 列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD，同理得到 ，根据勾股定理求出AE，设 ，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt△ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解．

【详解】（1）证明：∵ 为 的切线， 为 的直径，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴

∴ ．

（2）方法1：解：如图，连接 ，

∵ 为直径，∴ ，

∴ ，而 ，

∴ ，

又： ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴

∴ 的半径为2.5．

方法2：解：如图，连接CD，

∵ ，∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 为直径，∴ ，

∴ ，

而 ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

设 ，则 ，

在 中，

，∴ ，解得

∴ ，

∴ 的半径为2.5．

【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．

23.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为 ，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？

（销售额=销售量×销售价格）

【答案】（1） ；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．

【解析】

【分析】

（1）分为 和 ，用待定系数法确定解析式即可；

（2）分别计算出 和 时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可．

【详解】（1）当 时，设 ，由图象得：

解得：

∴

当 时，设 ，由图象得：

解得：

∴

综上， ．

（2）设当月该农产品的销售额为w元，则 ．

当 时，

∵ ，由二次函数的性质可知：

∴当 时，

当 时，

∵ ，由二次函数的性质可知：

当 时，

∵

∴当 时，w取得最大值，该最大值为500．

答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．

【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键．

24.如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 轴，垂足为C， 交 于点D，求 的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线 交于M，N两点，若点A是线段 的中点，求抛物线 的解析式．

【答案】（1）直线 的解析式为 ，抛物线顶点坐标为 ；（2）当 时， 的最大值为 ； ；（3） ．

【解析】

【分析】

（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；

（2）过点D作 轴于E，则 ．求得AB=5，设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，ED=x，证明 ，由相似三角形的性质求出 ，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；

（3）设平移后抛物线 的解析式 ，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设 ，则 是方程 的两根，得到 ，点A为 的中点， ，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．

【详解】（1）在 中，

令 ，则 ，解得 ，

∴ ．

令 ，则 ，∴ ．

设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，

∴直线 的解析式为 ．

，

∴抛物线顶点坐标为

（2）如图，过点D作 轴于E，则 ．

∵ ，

∴ ，

设点P的坐标为 ，

则点D 坐标为 ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

而 ，

∴ ，

∵ ， ，由二次函数的性质可知：

当 时， 的最大值为 ．

，

∴ ．

（3）设平移后抛物线 的解析式 ，

联立 ，

∴ ，

整理，得： ，

设 ，则 是方程 的两根，

∴ ．

而A为 的中点，∴ ，

∴ ，解得： ．

∴抛物线 的解析式 ．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．