【330085】18.1 第2课时 勾股定理的应用

18.1勾股定理

第2课时 勾股定理的应用

教学目标

1．会用勾股定理解决一些简单的实际问题；(重点)

2．通过对实际问题的探讨，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学过程

一、情境导入

一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？

二、合作探究

探究点：勾股定理的应用

【类型一】 勾股定理的直接应用

如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少(假设绳子是直的，结果保留根号)?

解析：开始时，AC＝5m，BC＝13m，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．

解：在Rt△ABC中，BC＝13m，AC＝5m，则AB＝＝12m，6秒后，B′C＝10m，则AB′＝＝5m，则船向岸边移动距离为(12－5)m.

方法总结：本题直接考查勾股定理在直角三角形中的运用，求出6秒后AB的长度是解题的关键．

【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题

如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100m到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．

解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．

解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝100m，BC＝100m，∴AC＝＝＝200(m)，∴A、C两点之间的距离为200m.

方法总结：先确定是直角三角形，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．

【类型三】 利用勾股定理解决最短距离问题

如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？

解：分三种情况比较最短距离：如图①所示，AM＝＝5(cm)；如图②所示，AM＝＝25(cm)；如图③所示，AM＝＝5(cm)．∵5cm>5cm＞25cm，

∴第二种短些，此时最短距离为25cm.

答：需要爬行的最短距离是25cm.

方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可．

【类型四】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用

如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.

解析：Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB²＋BC²＝AC².设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，根据两只猴子经过的路程一样可得10＋a＝x＋b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高AB＝10＋x.

解：Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，则10＋a＝x＋b＝15.∴a＝5，b＝15－x.又在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)²＋a²＝b²，∴(10＋x)²＋5²＝(15－x)²，解得x＝2，即AD＝2m，∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(m)．

答：树高AB为12m.

方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．

三、板书设计

教学反思

通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力.