【329947】12.2三角形全等的判定

12.2三角形全等的判定

基础巩固

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则直接利用“SSS”可判定(　　)

A．△ABD≌△ACD

B．△BDE≌△CDE

C．△ABE≌△ACE

D．以上都不对

2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，请你再补充一个条件，能直接运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，则这个条件是(　　)

A．∠ACB＝∠DEF

B．BE＝CF

C．AC＝DF

D．∠A＝∠F

3．如图，请看以下两个推理过程：

①∵∠D＝∠B，∠E＝∠C，DE＝BC，∴△ADE≌△ABC(AAS)；②∵∠DAE＝∠BAC，∠E＝∠C，DE＝BC，∴△ADE≌△ABC(AAS)．则以下判断正确的(包括判定三角形全等的依据)是(　　)

A．①对②错 B．①错②对

C．①②都对 D．①②都错

4．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角(即∠A′OA)是(　　)

A．80° B．60°

C．40° D．20°

5．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你添加的条件是__________．(不再添加辅助线和字母)

6．如图是一个三角形测平架，已知AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤DE，让其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，这时AD和BC的位置关系为_________．

7．如图，AC⊥BD，垂足为点B，点E为BD上一点，BC＝BE，∠C＝∠AEB，AB＝6 cm，则图中长度为6 cm的线段还有__________．

8．如图，为了固定门框，木匠师傅把两根同样长的木条BE，CF两端分别固定在门框上，且AB＝CD，则木条与门框围成的两个三角形(图中阴影部分)__________全等(填“一定”、“不一定”或“一定不”)．

9．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件__________，使得△EAB≌△BCD.

10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝__________ cm.

能力提升

11．如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：AD＝CF.

12．如图，点F，B，E，C在同一直线上，并且BF＝CE，∠ABC＝∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．

提供的三个条件是：①AB＝DE；②AC＝DF；③AC∥DF.

13．如图是一块三角形模具，阴影部分已破损．

(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺就能加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A′B′C′？请简要说明理由．

(2)作出模具△A′B′C′的图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，AD＝CE.

(1)若BC在DE的同侧(如图①)．求证：AB⊥AC.

(2)若BC在DE的两侧(如图②)，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立，请予证明；若不成立请说明理由．

参考答案

1．C　点拨：因为AB＝AC，BE＝CE，由图形知AE＝AE，则直接利用“SSS”可判定△ABE≌△ACE，故选C.

2．B　点拨：若添加BE＝CF，可得BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，

又因为AB＝DE，∠B＝∠DEF，能直接运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，故选B.

3．B　点拨：因为①中的判定根据为ASA，不是AAS；②是正确的，故选B.

4．C　点拨：因为点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，所以OB′＝OA，OC＝OC，由HL得Rt△OAC≌Rt△OB′C，得∠OB′C＝∠OAC＝20°，所以∠A′OA＝40°，故选C.

5．答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD.

点拨：答案不唯一．根据AB＝AC，推出∠B＝∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED＝∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED＝∠AFD推出∠B＝∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．

6．垂直　点拨：由“边边边”可得△ADB≌△ADC，得∠ADB＝∠ADC，又因为∠ADB＋∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADC＝90°，所以AD垂直于BC.

7．BD　点拨：由AC⊥BD，垂足为点B，BC＝BE，∠C＝∠AEB，得△ABE≌△DBC，所以BD＝AB＝6 cm.

8．一定　点拨：由HL可证得△ABE≌△DCF.

9．AE＝CB(或EB＝BD或∠EBD＝90°或∠E＝∠DBC等)　点拨：按SAS判定，需添加AE＝CB；按ASA判定，需添加∠ABE＝∠D；按AAS判定，需添加∠E＝∠DBC(或BD⊥BE或∠DBE＝90°)；

按HL判定，需添加EB＝BD.

10．3　点拨：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF＝∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝EF，再根据AE＝AC－CE，代入数据计算即可得解．

11．证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE.

∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F.

在△ADE与△CFE中，

∴△ADE≌△CFE(AAS)．

∴AD＝CF.

12．解：由前面的已知条件不能证明△ABC≌△DEF.需要再添加条件①时：证明：

∵BF＝CE，∴EF＝BC，∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)．

添加条件③时，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(ASA)．

13．解：(1)只要度量残留的三角形模具片的∠B，∠C的度数和边BC的长即可．

根据“ASA”可证明△ABC≌△A′B′C′.

(2)图略．

14．(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°.

在Rt△ADB和Rt△CEA中，

∴Rt△ADB≌Rt△CEA(HL)．

∴∠ABD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°，∴AB⊥AC.

(2)解：仍有AB⊥AC.

证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°.

在Rt△ADB和Rt△CEA中，

∴Rt△ADB≌Rt△CEA(HL)．

∴∠ABD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.