【323948】2024八年级数学下册 第21章 一次函数阶段方法技巧训练（二）专训3用一次函数巧解实

专训3　用一次函数巧解实际中方案设计的应用

名师点金：

利用一次函数解实际问题，首先要建立函数模型，求函数表达式．求函数表达式可以根据题目中所给出的两个变量之间的关系列出函数表达式，也可以根据两个变量之间满足的图像关系用待定系数法求函数表达式．其次，把已知自变量的值代入函数表达式中求函数值或把已知函数值代入函数表达式中求自变量的值，从而解决实际问题．

注意：对于分段函数容易忽略自变量的取值范围而导致错误．

租车方案问题

1．某校在五一期间组织学生外出旅游，如果单独租用45座的客车若干辆，恰好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，并且余30个座位．

(1)求外出旅游的学生人数是多少，单租45座的客车需多少辆？

(2)已知45座的客车每辆租金250元，60座的客车每辆租金300元，为节省租金，并且保证每个学生都有座，决定同时租用两种客车，使得租车总数比单租45座的客车少一辆，问45座的客车和60座的客车分别租多少辆才能使得租金最少？

购买方案问题

2．【 中考·孝感】孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．

(1)求A种，B种树木每棵各多少元．

(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.

生产方案问题

3．【 中考·郴州】某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3 kg，乙种原料6 kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：

(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种？

(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数表达式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润．

利润方案问题

4．【中考·眉山】“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受人们的喜欢，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，2016年经过改造升级后A型车每辆销售价比2015年增加400元，若2016年6月份与2015年6月份卖出的A型车数量相同，则2016年6月份A型车销售总额将比2015年6月份销售总额增加25%.

(1)求2016年6月份A型车每辆销售价为多少元(用列方程的方法解答)；

(2)该车行计划2016年7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

选择方案问题

5．【 中考·甘孜州】某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：

(1)用含x的代数式填写下表：

(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？

6．【 中考·黑龙江】为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展，2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数)，青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．

(1)求总利润y(万元)与种植西红柿的面积x(公顷)之间的关系式．

(2)若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？

(3)在(2)的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？

答案

1．解：(1)设外出旅游的学生有x人，单租45座的客车需y辆．

根据题意，得解得

答：外出旅游的学生有270人，单租45座的客车需6辆．

(2)设45座的客车租a辆，则

45a＋60(6－1－a)≥270，解得a≤2.

设租金为w元，则

w＝250a＋300(6－1－a)＝－50a＋1 500，∵k＝－50＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝2时，w最小．此时6－1－a＝3.

∴当租45座的客车2辆，60座的客车3辆时，租金最少．

2．解：(1)设A种树木每棵x元，B种树木每棵y元，

依题意得

解得

答：A种树木每棵100元，B种树木每棵80元．

(2)设购买A种树木a棵，则购买B种树木(100－a)棵，

则a≥3(100－a)，解得a≥75.

设实际付款总金额是w元，则

w＝0.9[100a＋80(100－a)]，即w＝18a＋7 200.

∵18＞0，∴w随a的增大而增大．

∴当a＝75时，w最小，

w_最小＝18×75＋7 200＝8 550.此时，100－a＝25.

答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，实际所花费用最省，最省的费用为8 550元．

3．解：(1)根据题意得

解得18≤x≤20，

∵x是正整数，

∴x＝18、19、20，

共有三种方案：

方案一：生产A产品18件，B产品12件；

方案二：生产A产品19件，B产品11件；

方案三：生产A产品20件，B产品10件．

(2)根据题意得y＝700x＋900(30－x)＝－200x＋27 000，

∵－200＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝18时，y有最大值，

y_最大＝－200×18＋27 000＝23 400.

∴利润最大的方案是方案一：生产A产品18件，B产品12件，最大利润为23 400元．

4．解：(1)3.2万元＝32 000元，设2015年6月份A型车每辆x元，那么2016年6月份每辆(x＋400)元，根据题意得

＝，

解得x＝1 600，

经检验，x＝1 600是方程的解．

x＋400＝1 600＋400＝2 000.

答：2016年6月份A型车每辆销售价为2 000元．

(2)设2016年7月份进A型车m辆，则进B型车(50－m)辆，获得的总利润为y元．

根据题意得50－m≤2m，

解得m≥16.

y＝(2 000－1 100)m＋(2 400－1 400)(50－m)＝－100m＋50 000，

∵－100＜0，∴y随m的增大而减小，

∴当m＝17时，可以获得最大利润．

50－m＝50－17＝33.

答：进A型车17辆，B型车33辆，才能使这批车获利最多．

5．解：(1)28(13－x)；250(13－x)

(2)设租车的总费用为W元，则有W＝400x＋250(13－x)＝150x＋3 250.

由已知得45x＋28(13－x)≥500，

解得x≥8.

∵在W＝150x＋3 250中，150＞0，

∴当x＝8时，W有最小值，最小值为150×8＋3 250＝4 450.

故租A型客车8辆、B型客车5辆时，总的租车费用最低，最低为4 450元．

6．解：(1)由题意得y＝x＋1.5×2x＋2(100－3x)＝－2x＋200.

(2)由题意得－2x＋200≥180，

解得x≤10，

∵x≥8，

∴8≤x≤10.

∵x为整数，

∴x＝8，9，10.

∴有3种种植方案．

方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷；

方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷；

方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷．

(3)方案一：投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个；

方案二：投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个；

方案三：投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个；

方案四：投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个．