【331957】九年级数学下册：26.1　二次函数及其图象

26.1　二次函数及其图象

专题一 开放题

1．请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析

式　 　．（答案不唯一）

2．（1）若 是二次函数，求m的值；

（2）当k为何值时，函数 是二次函数？

专题二 探究题

3．如图，把抛物线y=x²沿直线y=x平移 个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是（ ）

A． 　　　 B．

C． 　　D．

4．如图，若一抛物线y＝ax²与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成的正方形有公共点，求a的取值范围.

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

专 题三 存在性问题

5．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.

（1）求抛物线的解析式 ；

（

(2,2)

注：二次函数 （ ≠0）的对称轴是直线 = .

=

6．如图,二次函数 的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M　关于x轴的对称点是M′.

（1）若A(－4,0),求二次函数的关系式;

（2）在(1)的条件下,求四边 形AMBM′的面积;

（3）是否存在抛物线 ,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

【知识要点】

1．二次函数的一般形式 （其中a≠0，a，b，c为常数）.

2．二次函数 的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的 开口越大．

3．抛物线 的图象与性质：

（1）二次函数 的图象与抛物线 形状相同，位置不同，由抛物线 平移可以得到抛物线 .平移的方向、距离要根据h，k的值确定.

（2）①当 时 ，开口向上；当a＜0时，开口向下；

②对称轴是直线 ；

③顶点坐标是（h，k）.

4．二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x= ，顶点坐标为 .

【温馨提示】

1．二次函数的一般形 式y=ax²+bx+c中必须强调a≠0.

2．当a＜0时，a越小，开口越小，a越大，开口越大.

3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.

4．当a＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.

【方法技巧】[来源:学科网]

1．一般地，抛物线的平移规 律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”.

2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax²+bx+c.

3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式 .

[来源:Z#xx#k.Com]

参考答案

1. 答案不唯一，如y=x²+3x﹣1等.

【解析】设抛物线的 解析式为y=ax²+bx+c，

∵ 开口向上，∴a＞0. ∵其与y轴交点纵坐标为﹣1，∴c=﹣1.

∵经过点（1，3），∴a+b－1=3.令a=1，则b=3，所以y=x²+3x﹣1．

2．解:（1）由题意，得 解得m=2．

（2）由题意，得 解得k=3．

3．C【解析】把抛物线y=x²沿直线y=x平移 个 单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为 ，答案为C.

4．解:因为四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成正方形ABCD，所以A(1，2)，C(2，1).

设过A点的抛物线解析式为y＝a₁x²，过C点的抛物线解析式为y＝a₂x²，则 a₂≤a≤a₁.

把A(1，2)，C(2，1)分别代入，可求得a₁=2，a₂=.所以a的取值范围是≤a≤2.

5．解:（1）将A（-2,0）， C（0,3）代入 = 得

解得b= ，c= 3.∴此抛物线的解析式为 y= x²+ x+3.

(2) 连接AD交对称轴于点P，则P为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx+b.

由已知得 解得k= ，b=1.∴直线AD的解析式为y= x+1.

对称轴为直线x=－ = .当x = 时，y = ，∴ P点的坐标为（ ， ）.

6．解:(1) 把A(－4，0)代入 ，解出c＝-12.

∴二次函数的关系式为 .

(2)如 图,

令y＝0,则有 ，解得 , ，∴A(－4,0),B(6,0)， ∴AB＝10.

∵ ,∴M(1, ), ∴M′(1, )， ∴MM′＝25.

∴四边形AMBM′的面积＝ AB·MM′＝ ×10×25＝125.

(3) 存在.假设存在抛物线 ,使得四边形AMBM′为正方形.令y＝0,则 ，解得 .

∴A( ,0),B( ,0)，∴AB＝ .

∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′＝ .

∵对称轴为直线 ，∴顶点M(1, ).

把点M的坐标代入 ,得 ＝ ,

整理得 ,解得 (不合题意,舍去), .

∴抛物线关系式为 时, 四边形AMBM′为正方形.

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